Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 699

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если

Задача 699

y=1ln⁡xy=\frac1{\ln x}
Выводx=0x=0 — устранимая граничная точка разрыва;
x=1x=1 — точка бесконечного разрыва второго рода.

Решение

Идея

Область определения имеет видD=(0,1)∪(1,+∞)D=(0,1)\cup(1,+\infty)На каждом из этих интервалов функция непрерывна.
При x→0+x\to0^+ имеем ln⁡x→−∞\ln x\to-\infty, поэтомуlim⁡x→0+1ln⁡x=0\lim_{x\to0^+}\frac1{\ln x}=0Таким образом, в граничной точке x=0x=0 разрыв устраним.

Проверка

При x→1x\to1 логарифм стремится к нулю, меняя знак:lim⁡x→1−1ln⁡x=−∞,lim⁡x→1+1ln⁡x=+∞\lim_{x\to1^-}\frac1{\ln x}=-\infty,
\qquad
\lim_{x\to1^+}\frac1{\ln x}=+\infty
Демидович № 699 — решение и ответ