Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 691

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если

y=\frac{x}{\sin x}

Вывод

x=0

— устранимая точка разрыва. Все точки

x=k\pi

, где

k\in\mathbb Z\setminus\{0\}

, являются точками
бесконечного разрыва второго рода.

Решение

Идея

Функция не определена в точках

x=k\pi, \qquad k\in\mathbb Z

При

x\to0

используем первый замечательный предел:

\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}=1

Поэтому разрыв при

x=0

устраним.

Проверка

Пусть теперь

k\ne0

. В окрестности

x=k\pi

\sin x\sim(-1)^k(x-k\pi)

следовательно,

\frac{x}{\sin x} \sim\frac{(-1)^k k\pi}{x-k\pi}

Односторонние пределы бесконечны и имеют противоположные знаки.