Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 686

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

f(x)=\sqrt{x}-[\sqrt{x}]

ПостроениеФункция непрерывна на

[0,+\infty)\setminus\{1,4,9,\ldots\}

и имеет скачок в каждой точке

x=n^2

, где

n\in\mathbb N

; скачок равен

-1

Построение

Идея

Область определения функции задаётся условием

x\geqslant0

. Пусть

n\in\mathbb Z_{\geqslant0}

. Если

n^2\leqslant x<(n+1)^2

то

n\leqslant\sqrt{x}<n+1,\qquad[\sqrt{x}]=n

и потому

f(x)=\sqrt{x}-n

Внутри каждого промежутка

(n^2,(n+1)^2)

функция непрерывна и возрастает
от

0

1

1
В точке $x=0$ функция непрерывна справа. Для любого целого $n\geqslant1$ $f(n^2)=0,\qquad\lim_{x\to (n^2)^-}f(x)=1,\qquad\lim_{x\to (n^2)^+}f(x)=0$ Здесь и далее $\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$ . Следовательно, в каждой точке
$x=n^2$ , где $n\in\mathbb N$ , имеется
разрыв первого рода со скачком.

В стандартном порядке «правый предел минус левый предел» скачок равен $\lim_{x\to (n^2)^+}f(x)-\lim_{x\to (n^2)^-}f(x)=0-1=-1$
2
Построение графика
На каждом промежутке $[n^2,(n+1)^2)$ изображена
возрастающая дуга $y=\sqrt{x}-n$ . Левый конец дуги включён, правый исключён. $график к задаче Демидовича № 686$

Проверка

Ответ. Функция непрерывна на

[0,+\infty)\setminus\{1,4,9,\ldots\}

и имеет скачок в каждой точке

x=n^2

, где

n\in\mathbb N

; скачок равен

-1