Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 686

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Задача 686

f(x)=x−[x]f(x)=\sqrt{x}-[\sqrt{x}]
ПостроениеФункция непрерывна на
[0,+∞)∖{1,4,9,…}[0,+\infty)\setminus\{1,4,9,\ldots\} и имеет скачок в каждой точке
x=n2x=n^2, где n∈Nn\in\mathbb N; скачок равен −1-1.

Построение

Область определения функции задаётся условием x⩾0x\geqslant0. Пусть
n∈Z⩾0n\in\mathbb Z_{\geqslant0}. Еслиn2⩽x<(n+1)2n^2\leqslant x<(n+1)^2тоn⩽x<n+1,[x]=nn\leqslant\sqrt{x}<n+1,
\qquad
[\sqrt{x}]=nи потомуf(x)=x−nf(x)=\sqrt{x}-nВнутри каждого промежутка (n2,(n+1)2)(n^2,(n+1)^2) функция непрерывна и возрастает
от 00 к 11.
В точке x=0x=0 функция непрерывна справа. Для любого целого n⩾1n\geqslant1f(n2)=0,lim⁡x→(n2)−f(x)=1,lim⁡x→(n2)+f(x)=0f(n^2)=0,
\qquad
\lim_{x\to (n^2)^-}f(x)=1,
\qquad
\lim_{x\to (n^2)^+}f(x)=0Здесь и далее N={1,2,3,…}\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}. Следовательно, в каждой точке
x=n2x=n^2, где n∈Nn\in\mathbb N, имеется
разрыв первого рода со скачком.

В стандартном порядке «правый предел минус левый предел» скачок равенlim⁡x→(n2)+f(x)−lim⁡x→(n2)−f(x)=0−1=−1\lim_{x\to (n^2)^+}f(x)-\lim_{x\to (n^2)^-}f(x)=0-1=-1

Построение графика

На каждом промежутке [n2,(n+1)2)[n^2,(n+1)^2) изображена
возрастающая дуга y=x−ny=\sqrt{x}-n. Левый конец дуги включён, правый исключён.график к задаче Демидовича № 686