Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 669

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 669

Пусть для некоторых чисел ε>0\varepsilon>0 можно найти соответствующие
числа δ=δ(ε,x0)>0\delta=\delta(\varepsilon,x_0)>0 такие, что∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilonесли только ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta.

Можно ли утверждать, что функция f(x)f(x) непрерывна в точке x0x_0, если:

а) числа ε\varepsilon образуют конечное множество;

б) числа ε\varepsilon образуют бесконечное множество двоичных дробейε=12n,n=1,2,…\varepsilon=\frac1{2^n},
\qquad n=1,2,\ldots
Ответ:а) Нет, конечного множества значений ε\varepsilon недостаточно.

б) Да, бесконечной последовательности
ε=2−n\varepsilon=2^{-n} достаточно, поскольку она стремится к нулю.

Решение

Непрерывность в точке x0x_0 означает, что требуемое число δ>0\delta>0
можно подобрать для каждого ε>0\varepsilon>0.

Пункт а)

Для конечного множества значений ε\varepsilon этого недостаточно.
Пусть заданные числа равны ε1,…,εm\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m иε∗=min⁡1⩽j⩽mεj>0\varepsilon_*=\min_{1\leqslant j\leqslant m}\varepsilon_j>0Рассмотрим функциюf(x0)=0,f(x)=ε∗2при x≠x0f(x_0)=0,
\qquad
f(x)=\frac{\varepsilon_*}{2}
\quad\text{при }x\ne x_0Для каждого заданного εj\varepsilon_j и любого δ>0\delta>0 имеем∣f(x)−f(x0)∣⩽ε∗2<εj|f(x)-f(x_0)|\leqslant\frac{\varepsilon_*}{2}<\varepsilon_jОднакоlim⁡x→x0f(x)=ε∗2≠f(x0)\lim_{x\to x_0}f(x)=\frac{\varepsilon_*}{2}\ne f(x_0)поэтому функция разрывна в точке x0x_0.

Пункт б)

Двоичные дроби 2−n2^{-n} стремятся к нулю. Возьмём произвольное число
η>0\eta>0. Можно выбрать nn так, чтобы12n<η\frac1{2^n}<\etaПо условию для ε=2−n\varepsilon=2^{-n} существует δn>0\delta_n>0 такое, что
из ∣x−x0∣<δn|x-x_0|<\delta_n следует∣f(x)−f(x0)∣<12n<η|f(x)-f(x_0)|<\frac1{2^n}<\etaЭто и есть условие непрерывности для произвольного η>0\eta>0.