Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 700

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если

y=\frac1{1-e^{\frac{x}{1-x}}}

Вывод

x=0

— точка бесконечного разрыва второго рода;

x=1

— точка разрыва первого рода со скачком

1

Решение

Идея

Показатель экспоненты не определён при

x=1

. Кроме того,

1-e^{\frac{x}{1-x}}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x}{1-x}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=0

Поэтому область определения равна

\mathbb R\setminus\{0,1\}

Положим

u=\frac{x}{1-x}

При

x\to0

имеем

u\to0

1-e^u\sim-u\sim-x

Следовательно,

\lim_{x\to0^-}y=+\infty, \qquad \lim_{x\to0^+}y=-\infty

Точка

x=0

является точкой бесконечного разрыва.

Проверка

При приближении к

x=1

показатель ведёт себя по-разному с двух сторон:

\lim_{x\to1^-}\frac{x}{1-x}=+\infty, \qquad \lim_{x\to1^+}\frac{x}{1-x}=-\infty

Поэтому

\lim_{x\to1^-}y=0, \qquad \lim_{x\to1^+}y=1

Оба односторонних предела конечны, но различны.