Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 690

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если

Задача 690

y=1x−1x+11x−1−1xy=\frac{\dfrac1x-\dfrac1{x+1}}
{\dfrac1{x-1}-\dfrac1x}
Выводx=0x=0 и x=1x=1 — устранимые точки разрыва;
x=−1x=-1 — точка бесконечного разрыва второго рода.

Решение

Из исходной записи следует, чтоx≠−1,x≠0,x≠1x\ne-1,
\qquad
x\ne0,
\qquad
x\ne1При этих значениях1x−1x+1=1x(x+1)\frac1x-\frac1{x+1}=\frac1{x(x+1)}и1x−1−1x=1x(x−1)\frac1{x-1}-\frac1x=\frac1{x(x-1)}Знаменатель большой дроби на исходной области определения не обращается
в нуль. Поэтомуy=1x(x+1)⋅x(x−1)=x−1x+1\begin{aligned}
y = \frac{1}{x(x+1)}\cdot x(x-1) = \frac{x-1}{x+1}
\end{aligned}При x→0x\to0 и x→1x\to1 пределы конечны:lim⁡x→0y=−1,lim⁡x→1y=0\lim_{x\to0}y=-1,
\qquad
\lim_{x\to1}y=0При x=−1x=-1lim⁡x→−1−y=+∞,lim⁡x→−1+y=−∞\lim_{x\to-1^-}y=+\infty,
\qquad
\lim_{x\to-1^+}y=-\infty