Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 670

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 670

Пусть дана функцияf(x)=x+0,001[x]f(x)=x+0{,}001[x]Показать, что для каждого ε>0,001\varepsilon>0{,}001 можно подобрать
δ=δ(ε,x)>0\delta=\delta(\varepsilon,x)>0 такое, что
∣f(x′)−f(x)∣<ε|f(x')-f(x)|<\varepsilon, если только ∣x′−x∣<δ|x'-x|<\delta, а при
0<ε⩽0,0010<\varepsilon\leqslant0{,}001 для всех значений xx этого сделать
нельзя.

В каких точках нарушается непрерывность этой функции?
Доказано:Функция непрерывна при x∉Zx\notin\mathbb Z. Каждое
m∈Zm\in\mathbb Z является точкой разрыва первого рода со скачком
0,0010{,}001; в этих точках функция непрерывна справа.

Доказательство

Обозначим c=0,001c=0{,}001. Здесь [x][x] — целая часть числа xx, то есть
наибольшее целое число, не превосходящее xx.
Сначала пусть x∉Zx\notin\mathbb Z. Расстояние от xx до ближайшего целого
числа положительно. Выберем δ>0\delta>0 меньше этого расстояния и меньше
ε\varepsilon. Тогда при ∣x′−x∣<δ|x'-x|<\delta целые части [x′][x'] и [x][x]
совпадают, поэтому∣f(x′)−f(x)∣=∣x′−x∣<δ<ε|f(x')-f(x)|=|x'-x|<\delta<\varepsilon
Теперь пусть x=m∈Zx=m\in\mathbb Z и ε>c\varepsilon>c. Возьмём0<δ<min⁡{1,ε−c}0<\delta<\min\{1,\varepsilon-c\}Если m⩽x′<m+δm\leqslant x'<m+\delta, то [x′]=m[x']=m и∣f(x′)−f(m)∣=∣x′−m∣<δ<ε|f(x')-f(m)|=|x'-m|<\delta<\varepsilonЕсли m−δ<x′<mm-\delta<x'<m, то [x′]=m−1[x']=m-1 и∣f(x′)−f(m)∣=\displaystyle |f(x')-f(m)|\mathrel{=}∣x′−m−c∣=\displaystyle |x'-m-c|\mathrel{=}c+m−x′<c+δ<ε\displaystyle c+m-x'<c+\delta<\varepsilonСледовательно, для каждого xx и каждого ε>c\varepsilon>c подходящее
δ\delta существует.

Проверка

При x=m∈Zx=m\in\mathbb Z имеемlim⁡x′→m−f(x′)=m+c(m−1)\lim_{x'\to m^-}f(x')=m+c(m-1)иlim⁡x′→m+f(x′)=f(m)=m+cm\lim_{x'\to m^+}f(x')=f(m)=m+cmРазность односторонних пределов равна cc. Для любого δ>0\delta>0 можно выбрать 0<h<min⁡(δ,1)0<h<\min(\delta,1); тогда x′=m−hx'=m-h лежит в этой окрестности и ∣f(x′)−f(m)∣=c+h>c|f(x')-f(m)|=c+h>c. Поэтому при
0<ε⩽c0<\varepsilon\leqslant c никакая окрестность целой точки mm не может
обеспечить строгое неравенство ∣f(x′)−f(m)∣<ε|f(x')-f(m)|<\varepsilon для всех
достаточно близких x′x'.

Что и требовалось доказать