Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 670

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пусть дана функция

f(x)=x+0{,}001[x]

Показать, что для каждого

\varepsilon>0{,}001

можно подобрать

\delta=\delta(\varepsilon,x)>0

такое, что

|f(x')-f(x)|<\varepsilon

, если только

|x'-x|<\delta

, а при

0<\varepsilon\leqslant0{,}001

для всех значений

x

этого сделать
нельзя.

В каких точках нарушается непрерывность этой функции?

Доказано:Функция непрерывна при

x\notin\mathbb Z

. Каждое

m\in\mathbb Z

является точкой разрыва первого рода со скачком

0{,}001

; в этих точках функция непрерывна справа.

Доказательство

Идея

Обозначим

c=0{,}001

. Здесь

[x]

— целая часть числа

x

, то есть
наибольшее целое число, не превосходящее

x

1
Сначала пусть $x\notin\mathbb Z$ . Расстояние от $x$ до ближайшего целого
числа положительно. Выберем $\delta>0$ меньше этого расстояния и меньше
$\varepsilon$ . Тогда при $|x'-x|<\delta$ целые части $[x']$ и $[x]$
совпадают, поэтому $|f(x')-f(x)|=|x'-x|<\delta<\varepsilon$
2
Теперь пусть $x=m\in\mathbb Z$ и $\varepsilon>c$ . Возьмём $0<\delta<\min\{1,\varepsilon-c\}$ Если $m\leqslant x'<m+\delta$ , то $[x']=m$ и $|f(x')-f(m)|=|x'-m|<\delta<\varepsilon$ Если $m-\delta<x'<m$ , то $[x']=m-1$ и $|f(x')-f(m)|\mathrel{=}$ Следовательно, для каждого $x$ и каждого $\varepsilon>c$ подходящее
$\delta$ существует.

Проверка

При

x=m\in\mathbb Z

имеем

\lim_{x'\to m^-}f(x')=m+c(m-1)

\lim_{x'\to m^+}f(x')=f(m)=m+cm

Разность односторонних пределов равна

c

. Поэтому при

0<\varepsilon\leqslant c

никакая окрестность целой точки

m

не может
обеспечить строгое неравенство

|f(x')-f(m)|<\varepsilon

для всех
достаточно близких

x'

Что и требовалось доказать