Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 666

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 666

С помощью «ε−δ\varepsilon-\delta»-рассуждений доказать, что функцияf(x)=x2f(x)=x^2непрерывна при x=5x=5.

Заполнить следующую таблицу:ε10,10,010,001…δ\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
\boldsymbol{\varepsilon}&1&0{,}1&0{,}01&0{,}001&\ldots\\ \hline
\boldsymbol{\delta}&&&&&
\end{array}
Доказано:δ=min⁡{1,ε11}\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{11}\right\}ε10,10,010,001δ111111011100111000\begin{array}{c|c|c|c|c}
\boldsymbol{\varepsilon}&1&0{,}1&0{,}01&0{,}001\\ \hline
\boldsymbol{\delta}&\dfrac1{11}&\dfrac1{110}&\dfrac1{1100}&\dfrac1{11000}
\end{array}

Доказательство

Идея

Пусть ε>0\varepsilon>0. Ограничим xx условием ∣x−5∣<1|x-5|<1. Тогда 4<x<64<x<6, поэтому

Проверка

∣x+5∣<11|x+5|<11Следовательно,∣x2−25∣=∣x−5∣ ∣x+5∣<11∣x−5∣|x^2-25|
=|x-5|\,|x+5|
<11|x-5|Достаточно выбратьδ=min⁡{1,ε11}\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{11}\right\}Тогда из ∣x−5∣<δ|x-5|<\delta следует ∣x2−25∣<ε|x^2-25|<\varepsilon, что доказывает непрерывность функции при x=5x=5.

Что и требовалось доказать