Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 688

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если

y=\frac{1+x}{1+x^3}

Вывод

x=-1

— устранимая точка разрыва. Если положить

y(-1)=\frac13

, функция станет непрерывной на

\mathbb R

Решение

Разложим знаменатель на множители:

1+x^3=(x+1)(x^2-x+1)

Так как

x^2-x+1>0

при всех

x\in\mathbb R

, исходная функция не
определена только при

x=-1

. При

x\ne-1

\frac{1+x}{1+x^3}=\frac1{x^2-x+1}

Поэтому

\begin{aligned} \lim_{x\to-1}\frac{1+x}{1+x^3} &= \frac1{(-1)^2-(-1)+1} = \frac13 \end{aligned}