Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 695

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если

y=\frac{\cos\dfrac\pi x}{\cos\dfrac\pi x}

ВыводВсе точки

x=0, \qquad x=\frac{2}{2k+1}, \quad k\in\mathbb Z

являются устранимыми точками разрыва. После присвоения в них значения

1

получается постоянная непрерывная функция

y=1

Решение

Идея

Дробь равна единице во всех точках своей области определения. Она не
определена при

x=0

и в нулях знаменателя:

\cos\frac\pi x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac\pi x=\frac\pi2+\pi k \quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{2}{2k+1}, \qquad k\in\mathbb Z

Для каждой из этих точек, включая точку накопления

x=0

, предел по
области определения равен единице:

\lim_{\substack{x\to a\\x\in D}}y=1