Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 684

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Задача 684

f(x)=sgn⁡xf(x)=\operatorname{sgn}x
ПостроениеФункция непрерывна при x≠0x\neq0 и имеет скачок 22 в точке
x=0x=0.

Построение

По определениюsgn⁡x={−1,x<0,0,x=0,1,x>0\operatorname{sgn}x=
\begin{cases}
-1, & x<0,\\[1mm]
0, & x=0,\\[1mm]
1, & x>0
\end{cases}На промежутках (−∞,0)(-\infty,0) и (0,+∞)(0,+\infty) функция постоянна, поэтому
непрерывна. В нулеlim⁡x→0−sgn⁡x=−1,lim⁡x→0+sgn⁡x=1\lim_{x\to0^-}\operatorname{sgn}x=-1,
\qquad
\lim_{x\to0^+}\operatorname{sgn}x=1Односторонние пределы конечны, но различны. Следовательно, в точке x=0x=0
имеется разрыв первого рода. В стандартном порядке «правый предел минус
левый предел» скачок равенΔf=1−(−1)=2.\Delta f=1-(-1)=2.

Построение графика

Луч y=−1y=-1 соответствует отрицательным xx, луч
y=1y=1 — положительным xx, а значение функции в нуле равно 00.график к задаче Демидовича № 684