Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 705

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 705

y=x2−[x2]y=x^2-[x^2]
ВыводФункция непрерывна при
x∉{±n:n∈N}x\notin\{\pm\sqrt n:n\in\mathbb N\} и имеет разрыв первого рода в
каждой точке x=±nx=\pm\sqrt n, где n∈Nn\in\mathbb N.

Решение

Функция является дробной частью числа x2x^2. Если
n∈Z⩾0n\in\mathbb Z_{\geqslant0} иn⩽∣x∣<n+1\sqrt n\leqslant |x|<\sqrt{n+1}тоn⩽x2<n+1,[x2]=n,y=x2−nn\leqslant x^2<n+1,
\qquad
[x^2]=n,
\qquad
y=x^2-nВнутри каждого из полученных промежутков функция непрерывна.
В точке x=0x=0 функция также непрерывна, посколькуlim⁡x→0(x2−[x2])=lim⁡x→0x2=0=y(0)\lim_{x\to0}\bigl(x^2-[x^2]\bigr)
=\lim_{x\to0}x^2=0=y(0)Пусть теперь n∈N={1,2,3,…}n\in\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}. При x=nx=\sqrt n имеемy(n)=0,lim⁡x→(n)−y=1,lim⁡x→(n)+y=0y(\sqrt n)=0,
\qquad
\lim_{x\to(\sqrt n)^-}y=1,
\qquad
\lim_{x\to(\sqrt n)^+}y=0При x=−nx=-\sqrt n порядок односторонних пределов меняется:y(−n)=0,lim⁡x→(−n)−y=0,lim⁡x→(−n)+y=1y(-\sqrt n)=0,
\qquad
\lim_{x\to(-\sqrt n)^-}y=0,
\qquad
\lim_{x\to(-\sqrt n)^+}y=1Следовательно, все точки x=±nx=\pm\sqrt n, где n∈Nn\in\mathbb N, являются
точками разрыва первого рода. Функция чётная. Кроме того, как для любой
дробной части,0⩽x2−[x2]<10\leqslant x^2-[x^2]<1Каждое число t∈[0,1)t\in[0,1) действительно принимается: достаточно положить
x=tx=\sqrt t, тогда [x2]=[t]=0[x^2]=[t]=0 и y=ty=t. Поэтому множество значений
функции равно [0,1)[0,1).

Построение графика

На промежутках между соседними числами вида
±n\pm\sqrt n график состоит из дуг парабол y=x2−ny=x^2-n. В каждой точке
x=±nx=\pm\sqrt n значение 00 закрашено, а одностороннее предельное значение
11 открыто.график к задаче Демидовича № 705