Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 705

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 705

y=x^2-[x^2]

ВыводФункция непрерывна при

x\notin\{\pm\sqrt n:n\in\mathbb N\}

и имеет разрыв первого рода в
каждой точке

x=\pm\sqrt n

, где

n\in\mathbb N

Решение

Идея

Функция является дробной частью числа

x^2

. Если

n\in\mathbb Z_{\geqslant0}

\sqrt n\leqslant |x|<\sqrt{n+1}

то

n\leqslant x^2<n+1,\qquad[x^2]=n,\qquady=x^2-n

Внутри каждого из полученных промежутков функция непрерывна.

1
В точке $x=0$ функция также непрерывна, поскольку $\lim_{x\to0}\bigl(x^2-[x^2]\bigr)=\lim_{x\to0}x^2=0=y(0)$ Пусть теперь $n\in\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$ . При $x=\sqrt n$ имеем $y(\sqrt n)=0,\qquad\lim_{x\to(\sqrt n)^-}y=1,\qquad\lim_{x\to(\sqrt n)^+}y=0$ При $x=-\sqrt n$ порядок односторонних пределов меняется: $y(-\sqrt n)=0,\qquad\lim_{x\to(-\sqrt n)^-}y=0,\qquad\lim_{x\to(-\sqrt n)^+}y=1$ Следовательно, все точки $x=\pm\sqrt n$ , где $n\in\mathbb N$ , являются
точками разрыва первого рода. Функция чётная. Кроме того, как для любой
дробной части, $0\leqslant x^2-[x^2]<1$ Каждое число $t\in[0,1)$ действительно принимается: достаточно положить
$x=\sqrt t$ , тогда $[x^2]=[t]=0$ и $y=t$ . Поэтому множество значений
функции равно $[0,1)$ .
2
Построение графика
На промежутках между соседними числами вида
$\pm\sqrt n$ график состоит из дуг парабол $y=x^2-n$ . В каждой точке
$x=\pm\sqrt n$ значение $0$ закрашено, а одностороннее предельное значение
$1$ открыто. Для размещения точек $\pm\sqrt2,\pm\sqrt3,\ldots$ в коде
границы участков и координаты маркеров вычисляются непосредственно из
формул $\sqrt n$ средствами PGFMath. $график к задаче Демидовича № 705$

Проверка

Ответ. Функция непрерывна при

x\notin\{\pm\sqrt n:n\in\mathbb N\}

и имеет разрыв первого рода в
каждой точке

x=\pm\sqrt n

, где

n\in\mathbb N