Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 702

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 702

y=x-[x]

ВыводФункция непрерывна при

x\notin\mathbb Z

и имеет разрыв
первого рода в каждой точке

x\in\mathbb Z

Решение

Функция

x-[x]

является дробной частью числа

x

. Для каждого

k\in\mathbb Z

при

k\leqslant x<k+1

имеем

[x]=k,\qquady=x-k

Следовательно, внутри каждого промежутка

(k,k+1)

функция непрерывна и
линейно возрастает от

0

до

1

В целой точке

x=k

получаем

y(k)=0,\qquad\lim_{x\to k^-}y=1,\qquad\lim_{x\to k^+}y=0

Поэтому в каждом целом числе имеется разрыв первого рода. Если скачок
определять как разность правого и левого пределов, то он равен

-1

Построение графика

На каждом промежутке

[k,k+1)

изображён отрезок
прямой

y=x-k

: левый конец включён, правый исключён. Продолжающиеся части
графика естественно обрезаны границами координатного окна. график к задаче Демидовича № 702