Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 702

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 702

y=x−[x]y=x-[x]
ВыводФункция непрерывна при x∉Zx\notin\mathbb Z и имеет разрыв
первого рода в каждой точке x∈Zx\in\mathbb Z.

Решение

Идея

Функция x−[x]x-[x] является дробной частью числа xx. Для каждого
k∈Zk\in\mathbb Z при k⩽x<k+1k\leqslant x<k+1 имеем[x]=k,y=x−k[x]=k,
\qquad
y=x-kСледовательно, внутри каждого промежутка (k,k+1)(k,k+1) функция непрерывна и
линейно возрастает от 00 до 11.
  1. 1
    В целой точке x=kx=k получаемy(k)=0,lim⁡x→k−y=1,lim⁡x→k+y=0y(k)=0,
    \qquad
    \lim_{x\to k^-}y=1,
    \qquad
    \lim_{x\to k^+}y=0    Поэтому в каждом целом числе имеется разрыв первого рода. Если скачок
    определять как разность правого и левого пределов, то он равен −1-1.
  2. 2

    Построение графика

    На каждом промежутке [k,k+1)[k,k+1) изображён отрезок
    прямой y=x−ky=x-k: левый конец включён, правый исключён. Продолжающиеся части
    графика естественно обрезаны границами координатного окна.график к задаче Демидовича № 702

Проверка

Ответ. Функция непрерывна при x∉Zx\notin\mathbb Z и имеет разрыв
первого рода в каждой точке x∈Zx\in\mathbb Z.
Демидович № 702 — решение и ответ