Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 708

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 708

y=sgn⁡(cos⁡1x)y=\operatorname{sgn}\left(\cos\frac1x\right)
ВыводФункция непрерывна приx≠0,x≠2(2k+1)π,k∈Zx\ne0,
\qquad
x\ne\frac{2}{(2k+1)\pi},
\qquad k\in\mathbb Zи имеет разрывы первого рода во всех точках
x=2(2k+1)πx=\dfrac{2}{(2k+1)\pi}. В исключённой точке x=0x=0 предела нет.

Решение

Функция определена при x≠0x\ne0. Её значения меняются только в нулях
косинуса:cos⁡1x=0⟺1x=π2+kπ⟺x=2(2k+1)π,k∈Z\cos\frac1x=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
\frac1x=\frac\pi2+k\pi
\quad\Longleftrightarrow\quad
x=\frac{2}{(2k+1)\pi},
\qquad k\in\mathbb ZВ каждой такой точке значение функции равно нулю, а в любой достаточно
малой проколотой окрестности с разных сторон функция принимает
значения 11 и −1-1. Поэтому все эти точки являются точками разрыва
первого рода.
Во всех остальных точках области определения знак косинуса сохраняется
в некоторой окрестности, так что функция там постоянна и непрерывна.
Кроме того, функция чётная, посколькуcos⁡1−x=cos⁡(−1x)=cos⁡1x\cos\frac1{-x}=\cos\left(-\frac1x\right)=\cos\frac1xПри x→0x\to0 нули косинуса бесконечно сгущаются, поэтому функция
бесконечно часто принимает значения 11, 00 и −1-1 и предела не
имеет.

Построение графика

Показываем несколько первых постоянных участков
между соседними нулями косинуса. В самих нулях отмечаем значение 00,
а односторонние уровни 11 и −1-1 оставляем выколотыми. Это конечный
фрагмент: внутри узкой окрестности нуля чередование продолжается
бесконечно и не образует вертикального отрезка.график к задаче Демидовича № 708