Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 704

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

y=[x]\sin\pi x

ВыводФункция непрерывна на всей числовой прямой.

Решение

Идея

На каждом промежутке

k\leqslant x<k+1

, где

k\in\mathbb Z

, функция
имеет вид

y=k\sin\pi x

и потому непрерывна внутри промежутка.

1
Остаётся проверить целые точки. При $x\to k^-$ целая часть равна $k-1$ ,
а при $x\to k^+$ равна $k$ . Так как $\lim_{x\to k}\sin\pi x=\sin\pi k=0$ получаем $\lim_{x\to k^-}[x]\sin\pi x=0,\qquad\lim_{x\to k^+}[x]\sin\pi x=0$ В самой точке $y(k)=k\sin\pi k=0$ Оба односторонних предела совпадают со значением функции. Следовательно,
несмотря на разрывы множителя $[x]$ , их произведение с $\sin\pi x$
непрерывно на всей числовой прямой.
2
Построение графика
Между соседними целыми числами изображена одна
полуволна синусоиды с коэффициентом $k$ . Все соседние части сходятся в
точках $(k,0)$ . На отрезке $[0,1]$ график совпадает с осью $Ox$ . $график к задаче Демидовича № 704$

Проверка

Ответ. Функция непрерывна на всей числовой прямой.