Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 704

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 704

y=[x]sin⁡πxy=[x]\sin\pi x
ВыводФункция непрерывна на всей числовой прямой.

Решение

На каждом промежутке k⩽x<k+1k\leqslant x<k+1, где k∈Zk\in\mathbb Z, функция
имеет видy=ksin⁡πxy=k\sin\pi xи потому непрерывна внутри промежутка.
Остаётся проверить целые точки. При x→k−x\to k^- целая часть равна k−1k-1,
а при x→k+x\to k^+ равна kk. Так какlim⁡x→ksin⁡πx=sin⁡πk=0\lim_{x\to k}\sin\pi x=\sin\pi k=0получаемlim⁡x→k−[x]sin⁡πx=0,lim⁡x→k+[x]sin⁡πx=0\lim_{x\to k^-}[x]\sin\pi x=0,
\qquad
\lim_{x\to k^+}[x]\sin\pi x=0В самой точкеy(k)=ksin⁡πk=0y(k)=k\sin\pi k=0Оба односторонних предела совпадают со значением функции. Следовательно,
несмотря на разрывы множителя [x][x], их произведение с sin⁡πx\sin\pi x
непрерывно на всей числовой прямой.

Построение графика

Между соседними целыми числами изображена одна
полуволна синусоиды с коэффициентом kk. Все соседние части сходятся в
точках (k,0)(k,0). На отрезке [0,1][0,1] график совпадает с осью OxOx.график к задаче Демидовича № 704