Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 678

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 678

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функции:а) f1(x)=∣sin⁡xx∣,x≠0;f1(0)=1\text{а) }f_1(x)=\left|\frac{\sin x}{x}\right|,
\quad x\ne0;\qquad f_1(0)=1б) f2(x)=sin⁡x∣x∣,x≠0;f2(0)=1\text{б) }f_2(x)=\frac{\sin x}{|x|},
\quad x\ne0;\qquad f_2(0)=1
ПостроениеФункция f2f_2 непрерывна на R∖{0}\mathbb R\setminus\{0\},
непрерывна справа в нуле и
имеет в точке x=0x=0 разрыв первого рода.

Построение

  1. 1

    Пункт а)

    f1(x)=∣sin⁡xx∣f_1(x)=\left|\dfrac{\sin x}{x}\right| при
    x≠0x\ne0, f1(0)=1f_1(0)=1

    При x≠0x\ne0 функция является модулем непрерывной функции и потому
    непрерывна. В точке x=0x=0 используем первый замечательный предел:lim⁡x→0∣sin⁡xx∣=∣lim⁡x→0sin⁡xx∣=1=f1(0)\begin{aligned}
    \lim_{x\to0}\left|\frac{\sin x}{x}\right|&=
    \left|\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\right|=1=f_1(0)
    \end{aligned}    Следовательно, f1f_1 непрерывна на всей числовой прямой. Она чётная,
    неотрицательная и обращается в нуль при x=kπx=k\pi, где
    k∈Z∖{0}k\in\mathbb Z\setminus\{0\}.
  2. 2

    Построение графика

    Строим центральную дугу с вершиной (0,1)(0,1) и
    последующие неотрицательные дуги, амплитуда которых убывает при
    ∣x∣→∞|x|\to\infty.график к задаче Демидовича № 678
  3. 3

    Ответ

    Функция f1f_1 непрерывна на R\mathbb R.
  4. 4

    Пункт б)

    f2(x)=sin⁡x∣x∣f_2(x)=\dfrac{\sin x}{|x|} при x≠0x\ne0,
    f2(0)=1f_2(0)=1

    На промежутках (−∞,0)(-\infty,0) и (0,+∞)(0,+\infty) функция непрерывна.
    Посколькуf2(x)={−sin⁡xx,x<0sin⁡xx,x>0f_2(x)=
    \begin{cases}
    -\dfrac{\sin x}{x}, & x<0\\[1mm]
    \dfrac{\sin x}{x}, & x>0
    \end{cases}    односторонние пределы в нуле различны:lim⁡x→0−f2(x)=−1,lim⁡x→0+f2(x)=1=f2(0)\lim_{x\to0^-}f_2(x)=-1,
    \qquad
    \lim_{x\to0^+}f_2(x)=1=f_2(0)    Следовательно, в точке x=0x=0 имеется разрыв первого рода со скачком
    величины 22. Функция нечётна при x≠0x\ne0, но назначенное значение
    f2(0)=1f_2(0)=1 нарушает нечётность всей функции.
  5. 5

    Построение графика

    Слева строим график
    −sin⁡x/x-\sin x/x, справа — sin⁡x/x\sin x/x. В точке (0,−1)(0,-1) ставим
    выколотый маркер, а точку (0,1)(0,1) закрашиваем.график к задаче Демидовича № 678

Проверка

Ответ. Функция f2f_2 непрерывна на R∖{0}\mathbb R\setminus\{0\},
непрерывна справа в нуле и
имеет в точке x=0x=0 разрыв первого рода.
Демидович № 678 — решение и ответ