Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 678

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функции:

\text{а) }f_1(x)=\left|\frac{\sin x}{x}\right|,\quad x\ne0;\qquad f_1(0)=1

\text{б) }f_2(x)=\frac{\sin x}{|x|},\quad x\ne0;\qquad f_2(0)=1

Построениеа)

f_1

непрерывна на

\mathbb R

. б)

f_2

непрерывна при

x\ne0

и справа в нуле; при

x=0

имеет разрыв первого рода со скачком

1-(-1)=2

Построение

f_1(x)=\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|

при

x\ne0

f_1(0)=1

При

x\ne0

функция является модулем непрерывной функции и потому
непрерывна. В точке

x=0

используем первый замечательный предел:

\begin{aligned}\lim_{x\to0}\left|\frac{\sin x}{x}\right|&=\left|\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\right|=1=f_1(0)\end{aligned}

Следовательно,

f_1

непрерывна на всей числовой прямой. Она чётная,
неотрицательная и обращается в нуль при

x=k\pi

, где

k\in\mathbb Z\setminus\{0\}

Строим центральную дугу с вершиной

(0,1)

и
последующие неотрицательные дуги, амплитуда которых убывает при

|x|\to\infty

Функция

f_1

непрерывна на

\mathbb R

f_2(x)=\dfrac{\sin x}{|x|}

при

x\ne0

f_2(0)=1

На промежутках

(-\infty,0)

(0,+\infty)

функция непрерывна.
Поскольку

f_2(x)=\begin{cases}-\dfrac{\sin x}{x}, & x<0\\[1mm]\dfrac{\sin x}{x}, & x>0\end{cases}

односторонние пределы в нуле различны:

\lim_{x\to0^-}f_2(x)=-1,\qquad\lim_{x\to0^+}f_2(x)=1=f_2(0)

Следовательно, в точке

x=0

имеется разрыв первого рода со скачком
величины

2

. Функция нечётна при

x\ne0

, но назначенное значение

f_2(0)=1

нарушает нечётность всей функции.

Слева строим график

-\sin x/x

, справа —

\sin x/x

. В точке

(0,-1)

ставим
выколотый маркер, а точку

(0,1)

закрашиваем. график к задаче Демидовича № 678

Функция

f_2

непрерывна на

\mathbb R\setminus\{0\}

,
непрерывна справа в нуле и
имеет в точке

x=0

разрыв первого рода. Величина скачка равна

1-(-1)=2