Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 667

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 667

Пусть f(x)=1xf(x)=\frac1x и ε=0,001\varepsilon=0{,}001. Для значений x0=0,1; 0,01; 0,001;…x_0=0{,}1;\ 0{,}01;\ 0{,}001;\ldots найти максимально большие положительные числа δ=δ(ε,x0)\delta=\delta(\varepsilon,x_0) такие, чтобы из неравенства ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta вытекало бы неравенство∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilonМожно ли для данного ε=0,001\varepsilon=0{,}001 выбрать такое δ>0\delta>0, которое годилось бы для всех значений x0x_0 из интервала (0,1)(0,1), то есть такое, что если ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta, то ∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon, каково бы ни было значение x0∈(0,1)x_0\in(0,1)?
Ответ:δ(0,001,x0)=0,001x021+0,001x0\delta(0{,}001,x_0)
=\frac{0{,}001x_0^2}{1+0{,}001x_0}общего δ>0 для всех x0∈(0,1) не существует\text{общего }\delta>0\text{ для всех }x_0\in(0,1)\text{ не существует}

Решение

Идея

Пусть x0>0x_0>0 и 0<δ<x00<\delta<x_0. Для положительных xx, удовлетворяющих условию ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta, имеем∣1x−1x0∣=∣x−x0∣xx0\left|\frac1x-\frac1{x_0}\right|
=\frac{|x-x_0|}{xx_0}При уменьшении xx это выражение возрастает, поэтому его точная верхняя грань на рассматриваемом интервале получается при x→(x0−δ)+x\to(x_0-\delta)+. Следовательно, условие будет выполнено для всех таких xx, еслиδx0(x0−δ)⩽ε\frac{\delta}{x_0(x_0-\delta)}\leqslant\varepsilonРешая равенство относительно δ\delta, получаем максимально допустимое значениеδ(ε,x0)=εx021+εx0\delta(\varepsilon,x_0)
=\frac{\varepsilon x_0^2}{1+\varepsilon x_0}При ε=10−3\varepsilon=10^{-3} и x0=10−kx_0=10^{-k}, k=1,2,3,…k=1,2,3,\ldots,δ=10−(2k+3)1+10−(k+3)\delta
=\frac{10^{-(2k+3)}}{1+10^{-(k+3)}}В частности,x0=0,1 ⁣:δ=10−51+10−4≈9,999⋅10−6,x0=0,01 ⁣:δ=10−71+10−5≈9,9999⋅10−8,x0=0,001 ⁣:δ=10−91+10−6≈9,99999⋅10−10\begin{aligned}
x_0=0{,}1
&\colon\quad
\delta=\frac{10^{-5}}{1+10^{-4}}
\approx9{,}999\cdot10^{-6},\\
x_0=0{,}01
&\colon\quad
\delta=\frac{10^{-7}}{1+10^{-5}}
\approx9{,}9999\cdot10^{-8},\\
x_0=0{,}001
&\colon\quad
\delta=\frac{10^{-9}}{1+10^{-6}}
\approx9{,}99999\cdot10^{-10}
\end{aligned}

Проверка

Единого положительного δ\delta для всех x0∈(0,1)x_0\in(0,1) выбрать нельзя. Любое общее δ\delta должно было бы не превосходить максимально допустимое δ(ε,x0)\delta(\varepsilon,x_0) при каждом x0x_0, но0<δ(ε,x0)<εx02→0при x0→0+0<\delta(\varepsilon,x_0)
<\varepsilon x_0^2\to0
\quad\text{при }x_0\to0+Следовательно, допустимые значения δ\delta становятся сколь угодно малыми.
Демидович № 667 — решение и ответ