Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 667

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 667

Пусть f(x)=1xf(x)=\frac1x и ε=0,001\varepsilon=0{,}001. Для значений x0=0,1; 0,01; 0,001;…x_0=0{,}1;\ 0{,}01;\ 0{,}001;\ldots найти максимально большие положительные числа δ=δ(ε,x0)\delta=\delta(\varepsilon,x_0) такие, чтобы из неравенства ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta вытекало бы неравенство∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilonМожно ли для данного ε=0,001\varepsilon=0{,}001 выбрать такое δ>0\delta>0, которое годилось бы для всех значений x0x_0 из интервала (0,1)(0,1), то есть такое, что если ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta, то ∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon, каково бы ни было значение x0∈(0,1)x_0\in(0,1)?
Ответ:δ(0,001,x0)=0,001x021+0,001x0\delta(0{,}001,x_0)
=\frac{0{,}001x_0^2}{1+0{,}001x_0}общего δ>0 для всех x0∈(0,1) не существует\text{общего }\delta>0\text{ для всех }x_0\in(0,1)\text{ не существует}

Решение

Пусть x0>0x_0>0 и 0<δ<x00<\delta<x_0. Для положительных xx, удовлетворяющих условию ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta, имеем∣1x−1x0∣=∣x−x0∣xx0\left|\frac1x-\frac1{x_0}\right|
=\frac{|x-x_0|}{xx_0}При одинаковом отклонении h>0h>0 ошибки слева и справа равны соответственноhx0(x0−h)иhx0(x0+h).\frac h{x_0(x_0-h)}\quad\text{и}\quad\frac h{x_0(x_0+h)}.Левая больше. При увеличении hh от 00 до δ\delta она возрастает, так что точная верхняя грань ошибок равна δ/[x0(x0−δ)]\delta/[x_0(x_0-\delta)]. Следовательно, условие будет выполнено для всех таких xx, еслиδx0(x0−δ)⩽ε\frac{\delta}{x_0(x_0-\delta)}\leqslant\varepsilonВ равенстве умножаем на положительное x0(x0−δ)x_0(x_0-\delta):δ=εx02−εx0δ,δ(1+εx0)=εx02.\delta=\varepsilon x_0^2-\varepsilon x_0\delta,
\qquad\delta(1+\varepsilon x_0)=\varepsilon x_0^2.Поэтому максимально допустимое значениеδ(ε,x0)=εx021+εx0\delta(\varepsilon,x_0)
=\frac{\varepsilon x_0^2}{1+\varepsilon x_0}При ε=10−3\varepsilon=10^{-3} и x0=10−kx_0=10^{-k}, k=1,2,3,…k=1,2,3,\ldots,δ=10−(2k+3)1+10−(k+3)\delta
=\frac{10^{-(2k+3)}}{1+10^{-(k+3)}}В частности,x0=0,1 ⁣:δ=10−51+10−4=1100010,x0=0,01 ⁣:δ=10−71+10−5=110000100,x0=0,001 ⁣:δ=10−91+10−6=11000001000\begin{aligned}
x_0=0{,}1
&\colon\quad
\delta=\frac{10^{-5}}{1+10^{-4}}
=\frac1{100010},\\
x_0=0{,}01
&\colon\quad
\delta=\frac{10^{-7}}{1+10^{-5}}
=\frac1{10000100},\\
x_0=0{,}001
&\colon\quad
\delta=\frac{10^{-9}}{1+10^{-6}}
=\frac1{1000001000}
\end{aligned}
0<δ(ε,x0)<εx02→0при x0→0+0<\delta(\varepsilon,x_0)
<\varepsilon x_0^2\to0
\quad\text{при }x_0\to0+Следовательно, допустимые значения δ\delta становятся сколь угодно малыми.