Раздел I. Введение в анализ — § 7

Демидович § 7. Непрерывность функции

Условия, ответы и подробные решения задач 662–758

Задачи 662–758

94 из 94 с разбором

Функции с бесконечным множеством разрывов

701–712
Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 712

y=(−1)[x2]y=(-1)^{[x^2]}

Исследование разрывов элементарных функций

713–719

Задача 713

y=arctg⁡(1x+1x−1+1x−2)y=\operatorname{arctg}\left(\frac1x+\frac1{x-1}+\frac1{x-2}\right)

Задача 714

y=1x2sin⁡2xy=\frac1{x^2\sin^2x}

Задача 715

y=1sin⁡(x2)y=\frac1{\sin(x^2)}

Задача 716

y=ln⁡x2(x+1)(x−3)y=\ln\frac{x^2}{(x+1)(x-3)}

Задача 717

y=e−1xy=e^{-\frac1x}

Задача 718

y=1−e−1x2y=1-e^{-\frac1{x^2}}

Задача 719

y=th⁡2x1−x2y=\operatorname{th}\frac{2x}{1-x^2}

Непрерывность функций, заданных пределами

720–728
Исследовать на непрерывность и построить график функции

Задача 720

y=lim⁡n→∞11+xn,x⩾0y=\lim_{n\to\infty}\frac1{1+x^n},
\qquad x\geqslant0

Задача 721

y=lim⁡n→∞nx−n−xnx+n−xy=\lim_{n\to\infty}
\frac{n^x-n^{-x}}{n^x+n^{-x}}

Задача 722

y=lim⁡n→∞1+x2nny=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+x^{2n}}

Задача 723

y=lim⁡n→∞cos⁡2nxy=\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}x

Задача 724

y=lim⁡n→∞x1+(2sin⁡x)2ny=\lim_{n\to\infty}\frac{x}{1+(2\sin x)^{2n}}

Задача 725

y=lim⁡n→∞[xarctan⁡(ncot⁡x)]y=\lim_{n\to\infty}\left[x\arctan(n\cot x)\right]

Задача 726

y=lim⁡n→∞x+x2enx1+enxy=\lim_{n\to\infty}\frac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}

Задача 727

y=lim⁡t→+∞ln⁡(1+ext)ln⁡(1+et)y=\lim_{t\to+\infty}
\frac{\ln(1+e^{xt})}{\ln(1+e^t)}

Задача 728

y=lim⁡t→+∞(1+x)th⁡(tx)y=\lim_{t\to+\infty}(1+x)\operatorname{th}(tx)

Кусочные функции и устранимые разрывы

732–740

Задача 732

Функция d=d(x)d=d(x) представляет собой кратчайшее расстояние точки
xx числовой оси OxOx от множества точек ее, состоящего из отрезков
0≤x≤10\le x\le1 и 2≤x≤32\le x\le3. Найти аналитическое выражение функции
dd, построить ее график и исследовать на непрерывность.

Задача 733

Фигура EE состоит из равнобедренного треугольника с основанием 1 и
высотой 1 и двух прямоугольников с основаниями 1 каждый и высотами,
равными 2 и 3 (рис. 5). Функция S=S(y)S=S(y) (0≤y<+∞)(0\le y<+\infty)
представляет собой площадь части фигуры EE, заключенной между
параллелями Y=0Y=0 и Y=yY=y, а функция b=b(y)b=b(y)
(0≤y<+∞)(0\le y<+\infty) есть длина сечения фигуры EE параллельно
Y=yY=y.

Найти аналитические выражения функций SS и bb, построить их графики
и исследовать на непрерывность.

Задача 734

Доказать, что функция Дирихлеχ(x)=lim⁡m→∞[lim⁡n→∞cos⁡2n(m!πx)]\chi(x)=\lim_{m\to\infty}
\left[\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)\right]разрывна при каждом значении xx.

Задача 735

Исследовать на непрерывность функциюf(x)=xχ(x)f(x)=x\chi(x)где χ(x)\chi(x) — функция Дирихле (см. предыдущую задачу). Построить
эскиз графика этой функции.

Задача 736

Доказать, что функция Риманаf(x)={1n,если x=mn, где m и n взаимно простые числа;0,если x иррациональноf(x)=\begin{cases}
\dfrac1n,&\text{если }x=\dfrac mn,\text{ где }m\text{ и }n
\text{ взаимно простые числа};\\[2mm]
0,&\text{если }x\text{ иррационально}
\end{cases}разрывна при каждом рациональном значении xx и непрерывна при каждом
иррациональном значении xx. Построить эскиз графика этой функции.

Опирается на задачу 734

Задача 737

Исследовать на непрерывность функцию f(x)f(x), заданную следующим образом:f(x)=nxn+1f(x)=\frac{nx}{n+1}если xx есть несократимая рациональная дробь mn\frac mn
(n≥1)(n\ge1), иf(x)=∣x∣f(x)=|x|если xx — иррациональное число. Построить эскиз графика этой функции.

Задача 738

Функцияf(x)=1−cos⁡xx2f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}определена для всех значений аргумента xx, кроме x=0x=0. Какое
значение следует приписать функции f(x)f(x) в точке x=0x=0, чтобы эта
функция была непрерывной при x=0x=0?

Задача 739

Показать, что при любом выборе числа f(1)f(1) функцияf(x)=11−xf(x)=\frac1{1-x}будет разрывна при x=1x=1.

Задача 740

Функция f(x)f(x) теряет смысл при x=0x=0. Определить число f(0)f(0)
так, чтобы f(x)f(x) была непрерывна при x=0x=0, если:а) f(x)=1+x−11+x3−1;б) f(x)=tg⁡2xx\text{а) }f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1};
\qquad
\text{б) }f(x)=\frac{\operatorname{tg}2x}{x}в) f(x)=sin⁡xsin⁡1x;г) f(x)=(1+x)1x\text{в) }f(x)=\sin x\sin\frac1x;
\qquad
\text{г) }f(x)=(1+x)^{\frac1x}д) f(x)=1x2e−1x2;е) f(x)=xx(x>0)\text{д) }f(x)=\frac1{x^2}e^{-\frac1{x^2}};
\qquad
\text{е) }f(x)=x^x\quad(x>0)ж) f(x)=xln⁡2x\text{ж) }f(x)=x\ln^2x

Операции над функциями и непрерывность

741–749

Задача 741

Обязательно ли будет разрывна в данной точке x0x_0 сумма двух функций
f(x)+g(x)f(x)+g(x), если:

а) функция f(x)f(x) непрерывна, а функция g(x)g(x) разрывна при
x=x0x=x_0;

б) обе функции f(x)f(x) и g(x)g(x) разрывны при x=x0x=x_0?

Построить соответствующие примеры.

Задача 742

Обязательно ли произведение двух функцийf(x)g(x)f(x)g(x)терпит разрыв непрерывности в данной точке x0x_0, если:

а) функция f(x)f(x) непрерывна, а функция g(x)g(x) разрывна в этой
точке;

б) обе функции f(x)f(x) и g(x)g(x) разрывны при x=x0x=x_0?

Построить соответствующие примеры.

Задача 743

Можно ли утверждать, что квадрат разрывной функции есть также разрывная
функция?

Построить пример всюду разрывной функции, квадрат которой есть функция
непрерывная.

Задача 744

Исследовать на непрерывность функции f[g(x)]f[g(x)] и g[f(x)]g[f(x)], если:а) f(x)=sgn⁡x и g(x)=1+x2\text{а) }f(x)=\operatorname{sgn}x
\text{ и }g(x)=1+x^2б) f(x)=sgn⁡x и g(x)=x(1−x2)\text{б) }f(x)=\operatorname{sgn}x
\text{ и }g(x)=x(1-x^2)в) f(x)=sgn⁡x и g(x)=1+x−[x]\text{в) }f(x)=\operatorname{sgn}x
\text{ и }g(x)=1+x-[x]

Задача 745

Исследовать на непрерывность сложную функцию y=f(u)y=f(u), где
u=φ(x)u=\varphi(x), если:f(u)={u,0<u⩽12−u,1<u<2f(u)=
\begin{cases}
u, & 0<u\leqslant1\\
2-u, & 1<u<2
\end{cases}φ(x)={x,при x рациональном2−x,при x иррациональном(0<x<1)\varphi(x)=
\begin{cases}
x, & \text{при }x\text{ рациональном}\\
2-x, & \text{при }x\text{ иррациональном}
\end{cases}
\qquad(0<x<1)

Задача 746

Доказать, что если f(x)f(x) — непрерывная функция, тоF(x)=∣f(x)∣F(x)=|f(x)|есть также непрерывная функция.

Задача 747

Доказать, что если функция f(x)f(x) непрерывна, то функцияfc(x)={−c,f(x)<−cf(x),∣f(x)∣⩽cc,f(x)>cf_c(x)=
\begin{cases}
-c, & f(x)<-c\\
f(x), & |f(x)|\leqslant c\\
c, & f(x)>c
\end{cases}где cc — любое положительное число, также непрерывна.

Задача 748

Доказать, что если функция f(x)f(x) непрерывна на сегменте [a,b][a,b],
то функцииm(x)=inf⁡a⩽ξ⩽x{f(ξ)}иM(x)=sup⁡a⩽ξ⩽x{f(ξ)}m(x)=\inf_{a\leqslant\xi\leqslant x}\{f(\xi)\}
\quad\text{и}\quad
M(x)=\sup_{a\leqslant\xi\leqslant x}\{f(\xi)\}также непрерывны на [a,b][a,b].

Задача 749

Доказать, что если функции f(x)f(x) и g(x)g(x) непрерывны, то функцииφ(x)=min⁡[f(x),g(x)]иψ(x)=max⁡[f(x),g(x)]\varphi(x)=\min[f(x),g(x)]
\quad\text{и}\quad
\psi(x)=\max[f(x),g(x)]также непрерывны.

Опирается на задачу 746

Теоремы о непрерывных и монотонных функциях

750–758

Задача 750

Пусть функция f(x)f(x) определена и ограничена на сегменте [a,b][a,b].
Доказать, что функцииm(x)=inf⁡a⩽ξ<x{f(ξ)}иM(x)=sup⁡a⩽ξ<x{f(ξ)}m(x)=\inf_{a\leqslant\xi<x}\{f(\xi)\}
\quad\text{и}\quad
M(x)=\sup_{a\leqslant\xi<x}\{f(\xi)\}непрерывны слева на сегменте [a,b][a,b].

Задача 751

Доказать, что если функция f(x)f(x) непрерывна в промежутке
a⩽x<+∞a\leqslant x<+\infty и существует конечныйlim⁡x→+∞f(x)\lim_{x\to+\infty}f(x)то эта функция ограничена в данном промежутке.

Задача 752

Пусть функция f(x)f(x) непрерывна и ограничена в интервале
(x0,+∞)(x_0,+\infty). Доказать, что, каково бы ни было число TT,
найдется последовательность xn→+∞x_n\to+\infty такая, чтоlim⁡n→∞[f(xn+T)−f(xn)]=0\lim_{n\to\infty}[f(x_n+T)-f(x_n)]=0

Задача 753

Пусть φ(x)\varphi(x) и ψ(x)\psi(x) — непрерывные периодические
функции, определенные при −∞<x<+∞-\infty<x<+\infty, иlim⁡x→+∞[φ(x)−ψ(x)]=0\lim_{x\to+\infty}[\varphi(x)-\psi(x)]=0Доказать, чтоφ(x)≡ψ(x)\varphi(x)\equiv\psi(x)

Задача 754

Доказать, что все точки разрыва ограниченной монотонной функции являются
точками разрыва 1-го рода.

Задача 755

Доказать, что если функция f(x)f(x) обладает следующими свойствами:

1) определена и монотонна на сегменте [a,b][a,b];

2) в качестве своих значений принимает все числа между f(a)f(a) и
f(b)f(b),

то эта функция непрерывна на [a,b][a,b].

Задача 756

Показать, что функцияf(x)=sin⁡1x−a,x≠a,f(a)=0f(x)=\sin\frac1{x-a},
\quad x\ne a,
\qquad
f(a)=0принимает на любом сегменте [a,b][a,b] все промежуточные значения между
f(a)f(a) и f(b)f(b), однако не является непрерывной на [a,b][a,b].

Задача 757

Доказать, что если функция f(x)f(x) непрерывна на интервале (a,b)(a,b)
и x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n — любые значения xx из этого интервала,
то между ними найдется число ξ\xi такое, чтоf(ξ)=1n[f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)]f(\xi)=\frac1n[f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)]

Задача 758

Пусть f(x)f(x) непрерывна в интервале (a,b)(a,b) иl=lim‾⁡x→af(x)иL=lim‾⁡x→af(x)l=\varliminf_{x\to a}f(x)
\quad\text{и}\quad
L=\varlimsup_{x\to a}f(x)Доказать, что, каково бы ни было число λ\lambda, где
l⩽λ⩽Ll\leqslant\lambda\leqslant L, существует последовательность
xn→ax_n\to a (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) такая, чтоlim⁡n→∞f(xn)=λ\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lambda

Задачи 51–94 из 94