Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 681

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

f(x)=e^{-\frac1{x^2}},\qquad x\neq0,\qquad f(0)=0

ПостроениеФункция непрерывна на

\mathbb R

Построение

Идея

При

x\neq0

функция непрерывна как композиция непрерывных функций. Если

x\to0

, то

\frac1{x^2}\to+\infty

, поэтому

\lim_{x\to0}e^{-\frac1{x^2}}=0=f(0)

Следовательно, функция непрерывна в нуле и, значит, на всей числовой прямой.

1
Функция чётная. Для $x\neq0$ $f'(x)=\frac{2}{x^3}e^{-\frac1{x^2}}$ Поэтому она убывает на $(-\infty,0)$ и возрастает на $(0,+\infty)$ ,
принимая наименьшее значение $0$ при $x=0$ . Наконец, $\lim_{x\to\pm\infty}e^{-\frac1{x^2}}=1$ поэтому прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой, причём значение
$1$ функцией не достигается.

При $x\neq0$ функция строго положительна. Участок около начала координат
только визуально сливается с осью $Ox$ из-за чрезвычайно быстрого стремления
$e^{-\frac1{x^2}}$ к нулю. Единственный нуль функции — $x=0$ .
2
Построение графика
График симметричен относительно оси $Oy$ , проходит
через начало координат и с обеих сторон приближается к прямой $y=1$ . $график к задаче Демидовича № 681$

Проверка

Ответ. Функция непрерывна на

\mathbb R