Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 681

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

f(x)=e^{-\frac1{x^2}},\qquad x\neq0,\qquad f(0)=0

ПостроениеФункция непрерывна на

\mathbb R

Построение

При

x\neq0

функция непрерывна как композиция непрерывных функций. Если

x\to0

, то

\frac1{x^2}\to+\infty

, поэтому

\lim_{x\to0}e^{-\frac1{x^2}}=0=f(0)

Следовательно, функция непрерывна в нуле и, значит, на всей числовой прямой.

Функция чётная. При

0<u<v

имеем

1/u^2>1/v^2

, поэтому

-1/u^2<-1/v^2

e^{-1/u^2}<e^{-1/v^2}

. Правая ветвь строго возрастает. По чётности левая строго убывает. Значения при

x\ne0

положительны, а

f(0)=0

, поэтому минимум равен нулю. Наконец,

\lim_{x\to\pm\infty}e^{-\frac1{x^2}}=1

поэтому прямая

y=1

является горизонтальной асимптотой, причём значение

1

функцией не достигается.

При

x\neq0

функция строго положительна. Участок около начала координат
только визуально сливается с осью

Ox

из-за чрезвычайно быстрого стремления

e^{-\frac1{x^2}}

к нулю. Единственный нуль функции —

x=0

График симметричен относительно оси

Oy

, проходит
через начало координат и с обеих сторон приближается к прямой

y=1