Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 689

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если

y=\frac{x^2-1}{x^3-3x+2}

Вывод

x=-2

x=1

— точки бесконечного разрыва второго
рода; прямые

x=-2

x=1

являются вертикальными асимптотами.

Решение

Проверка

Разложим числитель и знаменатель:

x^2-1=(x-1)(x+1)

x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)

Область определения исключает точки

x=1

x=-2

, а при остальных

x

y=\frac{x+1}{(x-1)(x+2)}

В окрестности

x=1

y\sim\frac{2}{3(x-1)}

следовательно,

\lim_{x\to1^-}y=-\infty, \qquad \lim_{x\to1^+}y=+\infty

В окрестности

x=-2

y\sim\frac1{3(x+2)}

поэтому

\lim_{x\to-2^-}y=-\infty, \qquad \lim_{x\to-2^+}y=+\infty