Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 692

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если

Задача 692

y=\sqrt{\frac{1-\cos\pi x}{4-x^2}}

Вывод

x=-2

x=2

— устранимые точки разрыва. Если
положить

y(-2)=y(2)=0

, функция станет непрерывной на расширенной
области определения.

Решение

Идея

Числитель подкоренного выражения неотрицателен и равен нулю только при

x=2k

k\in\mathbb Z

. Знаменатель положителен при

|x|<2

и
отрицателен при

|x|>2

. Поэтому область определения имеет вид

D=(-2,2) \cup \{2k:k\in\mathbb Z,\ |k|\geqslant2\}

Точки

2k

при

|k|\geqslant2

изолированы в области определения, и
функция непрерывна в каждой из них. Действительно, около такой точки
можно выбрать окрестность, в которой других точек области определения
нет.

Проверка

Остаются граничные точки

x=\pm2

. Используем равенство

1-\cos\pi x=2\sin^2\frac{\pi x}{2}

При

x\to2^-

\frac{1-\cos\pi x}{4-x^2} \sim-\frac{\pi^2}{8}(x-2) \to0

а при

x\to-2^+

аналогично получаем предел

0

. Следовательно,

\lim_{\substack{x\to2\\x\in D}}y=0, \qquad \lim_{\substack{x\to-2\\x\in D}}y=0