Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 692

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если

Задача 692

y=\sqrt{\frac{1-\cos\pi x}{4-x^2}}

Вывод

x=-2

x=2

— устранимые точки разрыва. Если
положить

y(-2)=y(2)=0

, функция станет непрерывной на расширенной
области определения.

Решение

Числитель подкоренного выражения неотрицателен и равен нулю только при

x=2k

k\in\mathbb Z

. Знаменатель положителен при

|x|<2

и
отрицателен при

|x|>2

. Поэтому область определения имеет вид

D=(-2,2) \cup \{2k:k\in\mathbb Z,\ |k|\geqslant2\}

Точки

2k

при

|k|\geqslant2

изолированы в области определения, и
функция непрерывна в каждой из них. Действительно, около такой точки
можно выбрать окрестность, в которой других точек области определения
нет.

1-\cos\pi x=2\sin^2(\pi h/2),\qquad 4-x^2=-h(4+h).

Если

-1<h<0

, то

4+h>3

. Из

|\sin t|\leqslant|t|

получаем

0\leqslant\frac{1-\cos\pi x}{4-x^2}=\frac{2\sin^2(\pi h/2)}{|h|(4+h)}\leqslant\frac{2(\pi|h|/2)^2}{3|h|}=\frac{\pi^2|h|}{6}\longrightarrow0.

Квадратный корень тоже стремится к нулю. Функция чётная, поэтому при

x\to-2^+

получаем такой же предел. Таким образом, оба граничных значения можно доопределить нулём.