Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 664

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 664

Ребро куба заключается между 2 м и 3 м. С какой абсолютной погрешностью Δ\Delta допустимо измерить ребро xx этого куба, чтобы объем его yy можно было вычислить с абсолютной погрешностью, не превышающей ε\varepsilon м3^3, если:а) ε=0,1 м3;б) ε=0,01 м3;в) ε=0,001 м3\text{а) }\varepsilon=0{,}1\ \text{м}^3;
\qquad
\text{б) }\varepsilon=0{,}01\ \text{м}^3;
\qquad
\text{в) }\varepsilon=0{,}001\ \text{м}^3
Ответ:Δ=0,127 м≈0,003704 м≈3,7 мм\Delta=\frac{0{,}1}{27}\ \text{м}
\approx0{,}003704\ \text{м}
\approx3{,}7\ \text{мм}Δ=0,0127 м≈0,000370 м≈0,37 мм\Delta=\frac{0{,}01}{27}\ \text{м}
\approx0{,}000370\ \text{м}
\approx0{,}37\ \text{мм}Δ=0,00127 м≈0,000037 м≈0,037 мм\Delta=\frac{0{,}001}{27}\ \text{м}
\approx0{,}000037\ \text{м}
\approx0{,}037\ \text{мм}

Решение

Идея

Пусть истинная и измеренная длины ребра равны xx и x~\widetilde{x}. Поскольку рассматриваемые значения длины ребра лежат в указанном интервале, считаем, что 2<x,x~<32<x,\widetilde{x}<3 и ∣x−x~∣<Δ|x-\widetilde{x}|<\Delta. Тогда∣x3−x~3∣=∣x−x~∣(x2+xx~+x~2)|x^3-\widetilde{x}^{3}|
=|x-\widetilde{x}|
\bigl(x^2+x\widetilde{x}+\widetilde{x}^{2}\bigr)Поскольку 2<x,x~<32<x,\widetilde{x}<3,x2+xx~+x~2<27x^2+x\widetilde{x}+\widetilde{x}^{2}<27Поэтому достаточно потребовать 27Δ⩽ε27\Delta\leqslant\varepsilon.
При ε=0,1\varepsilon=0{,}1 можно взять

При ε=0,01\varepsilon=0{,}01 можно взять

Проверка

При ε=0,001\varepsilon=0{,}001 можно взять