Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 664

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 664

Ребро куба заключается между 2 м и 3 м. С какой абсолютной погрешностью Δ\Delta допустимо измерить ребро xx этого куба, чтобы объем его yy можно было вычислить с абсолютной погрешностью, не превышающей ε\varepsilon м3^3, если:а) ε=0,1 м3;б) ε=0,01 м3;в) ε=0,001 м3\text{а) }\varepsilon=0{,}1\ \text{м}^3;
\qquad
\text{б) }\varepsilon=0{,}01\ \text{м}^3;
\qquad
\text{в) }\varepsilon=0{,}001\ \text{м}^3
Ответ:Точные допустимые погрешности ребра (в метрах):а) 27,13−3;б) 27,013−3;в) 27,0013−3.\text{а) }\sqrt[3]{27{,}1}-3;\qquad
\text{б) }\sqrt[3]{27{,}01}-3;\qquad
\text{в) }\sqrt[3]{27{,}001}-3.Можно использовать меньшие практические допуски: соответственно 3,53{,}5 мм, 0,350{,}35 мм и 0,0350{,}035 мм.

Решение

Пусть x∈[2,3]x\in[2,3] — истинное ребро, а x~=x+h\widetilde x=x+h — результат измерения; все длины выражаем в метрах. Предположим ∣h∣⩽Δ|h|\leqslant\Delta. Измеренное значение может оказаться немного за пределами [2,3][2,3], поэтому оценим его погрешность непосредственно:x~ 3−x3=3x2h+3xh2+h3.\widetilde x^{\,3}-x^3=3x^2h+3xh^2+h^3.Так как x⩽3x\leqslant3,∣x~ 3−x3∣⩽27Δ+9Δ2+Δ3=(3+Δ)3−27.|\widetilde x^{\,3}-x^3|
\leqslant27\Delta+9\Delta^2+\Delta^3
=(3+\Delta)^3-27.Значит, точный общий допуск можно выбрать из равенства(3+Δ)3−27=ε,Δ=27+ε3−3.(3+\Delta)^3-27=\varepsilon,
\qquad\Delta=\sqrt[3]{27+\varepsilon}-3.Этот допуск обеспечивает погрешность объёма не больше ε\varepsilon при любом истинном ребре от 2 до 3 метров.
Получим также удобные для измерения десятичные допуски, проверив их без приближённого извлечения корня. Если Δ⩽0,1\Delta\leqslant0{,}1, то27+9Δ+Δ2⩽27+0,9+0,01=27,91<28,27+9\Delta+\Delta^2\leqslant27+0{,}9+0{,}01=27{,}91<28,поэтому достаточно 28Δ⩽ε28\Delta\leqslant\varepsilon. Для данных трёх значений подойдут:ε (м3)Δ (м)28Δ (м3)Δ (мм)0,10,00350,098<0,13,50,010,000350,0098<0,010,350,0010,0000350,00098<0,0010,035\begin{array}{c|c|c|c}
\varepsilon\ (\text{м}^3)&\Delta\ (\text{м})&28\Delta\ (\text{м}^3)&\Delta\ (\text{мм})\\\hline
0{,}1&0{,}0035&0{,}098<0{,}1&3{,}5\\
0{,}01&0{,}00035&0{,}0098<0{,}01&0{,}35\\
0{,}001&0{,}000035&0{,}00098<0{,}001&0{,}035
\end{array}В последнем столбце каждое значение в метрах умножено на 10001000. Все выбранные Δ\Delta меньше 0,10{,}1 м, так что использованная оценка применима.