Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 707

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 707

y=x\left[\frac1x\right]

ВыводФункция непрерывна во всех точках своей области
определения, кроме

x=\pm\dfrac1n

n\in\mathbb N

. В исключённой точке

x=0

существует конечный предел

1

, поэтому возможно непрерывное
доопределение

y(0)=1

Решение

Идея

Область определения задаётся условием

x\ne0

. Используем разбиение
числовой прямой, найденное в предыдущей задаче. При

x>0

y=nx\quad\text{на}\quad\frac1{n+1}<x\leqslant\frac1n,\qquad n\in\mathbb N

а при

x>1

имеем

y=0

. На отрицательной полуоси

y=-x\quad\text{при}\quad x\leqslant-1

и для

n\geqslant2

y=-nx\quad\text{на}\quad-\frac1{n-1}<x\leqslant-\frac1n

Внутри каждого указанного промежутка функция линейна и непрерывна.

1
В точке $x=\dfrac1n$ значение функции и левый предел равны $1$ , тогда как
правый предел равен $\frac{n-1}{n}=1-\frac1n$ В точке $x=-\dfrac1n$ значение и левый предел также равны $1$ , а правый
предел равен $\frac{n+1}{n}=1+\frac1n$ Следовательно, при $x=\pm\dfrac1n$ имеются разрывы первого рода.

Исследуем поведение около исключённой точки $x=0$ . При $x>0$ из $\left[\frac1x\right]\leqslant\frac1x<\left[\frac1x\right]+1$ получаем $1-x<x\left[\frac1x\right]\leqslant1$ При $x<0$ после умножения того же двойного неравенства на отрицательное
$x$ знаки меняются: $1\leqslant x\left[\frac1x\right]<1-x$ В обоих случаях по теореме о зажатой функции $\lim_{x\to0}x\left[\frac1x\right]=1$ Поэтому в точке $x=0$ график имеет устранимую дыру и может быть
непрерывно дополнен значением $y(0)=1$ .
2
Построение графика
На каждом промежутке постоянства целой части
строим соответствующий отрезок прямой. Около нуля звенья становятся
короче и приближаются к выколотой точке $(0,1)$ . На рисунке показан
конечный фрагмент этой бесконечной ломаной. $график к задаче Демидовича № 707$

Проверка

Ответ. Функция непрерывна во всех точках своей области
определения, кроме

x=\pm\dfrac1n

n\in\mathbb N

. В исключённой точке

x=0

существует конечный предел

1

, поэтому возможно непрерывное
доопределение

y(0)=1