Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 707

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 707

y=x[1x]y=x\left[\frac1x\right]
ВыводФункция непрерывна во всех точках своей области
определения, кроме x=±1nx=\pm\dfrac1n, n∈Nn\in\mathbb N. В исключённой точке
x=0x=0 существует конечный предел 11, поэтому возможно непрерывное
доопределение y(0)=1y(0)=1.

Решение

Область определения задаётся условием x≠0x\ne0. Используем разбиение
числовой прямой, найденное в предыдущей задаче. При x>0x>0y=nxна1n+1<x⩽1n,n∈Ny=nx
\quad\text{на}\quad
\frac1{n+1}<x\leqslant\frac1n,
\qquad n\in\mathbb Nа при x>1x>1 имеем y=0y=0. На отрицательной полуосиy=−xприx⩽−1y=-x
\quad\text{при}\quad x\leqslant-1и для n⩾2n\geqslant2y=−nxна−1n−1<x⩽−1ny=-nx
\quad\text{на}\quad
-\frac1{n-1}<x\leqslant-\frac1nВнутри каждого указанного промежутка функция линейна и непрерывна.
В точке x=1nx=\dfrac1n значение функции и левый предел равны 11, тогда как
правый предел равенn−1n=1−1n\frac{n-1}{n}=1-\frac1nВ точке x=−1nx=-\dfrac1n значение и левый предел также равны 11, а правый
предел равенn+1n=1+1n\frac{n+1}{n}=1+\frac1nСледовательно, при x=±1nx=\pm\dfrac1n имеются разрывы первого рода.

Исследуем поведение около исключённой точки x=0x=0. При x>0x>0 из[1x]⩽1x<[1x]+1\left[\frac1x\right]\leqslant\frac1x<
\left[\frac1x\right]+1получаем1−x<x[1x]⩽11-x<x\left[\frac1x\right]\leqslant1При x<0x<0 после умножения того же двойного неравенства на отрицательное
xx знаки меняются:1⩽x[1x]<1−x1\leqslant x\left[\frac1x\right]<1-xВ обоих случаях по теореме о зажатой функцииlim⁡x→0x[1x]=1\lim_{x\to0}x\left[\frac1x\right]=1Поэтому в точке x=0x=0 график имеет устранимую дыру и может быть
непрерывно дополнен значением y(0)=1y(0)=1.

Построение графика

На каждом промежутке постоянства целой части
строим соответствующий отрезок прямой. Около нуля звенья становятся
короче и приближаются к выколотой точке (0,1)(0,1). На рисунке показан
конечный фрагмент этой бесконечной ломаной.график к задаче Демидовича № 707