Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 662

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 662

Дан график непрерывной функции y=f(x)y=f(x). Для данной точки aa и числа
ε>0\varepsilon>0 указать геометрически число δ>0\delta>0 такое, что∣f(x)−f(a)∣<ε|f(x)-f(a)|<\varepsilonпри ∣x−a∣<δ|x-a|<\delta.
Ответ:Можно взятьδ=min⁡{a−x−, x+−a}\delta=\min\{a-x_-,\,x_+-a\}

Решение

Идея

Проведём горизонтальные прямыеy=f(a)−ε,y=f(a)+εy=f(a)-\varepsilon,
\qquad
y=f(a)+\varepsilonОни ограничивают горизонтальную полосу ширины 2ε2\varepsilon с
серединой на уровне y=f(a)y=f(a). По непрерывности функции в точке aa
найдётся окрестность этой точки, график над которой целиком находится
внутри полосы.
  1. 1
    Двигаясь от точки графика (a,f(a))(a,f(a)) влево и вправо, обозначим через
    x−x_- и x+x_+ ближайшие абсциссы выхода графика на границу полосы.
    Тогдаδ−=a−x−>0,δ+=x+−a>0\delta_-=a-x_->0,
    \qquad
    \delta_+=x_+-a>0    Достаточно выбратьδ=min⁡{δ−,δ+}\delta=\min\{\delta_-,\delta_+\}Если на одной из сторон график вовсе не достигает границы полосы,
    соответствующее расстояние можно считать равным +∞+\infty; тогда
    значение δ\delta определяется другой стороной. Если граница не
    достигается ни с одной стороны, подходит любое положительное
    δ\delta.

    На каждой стороне, где граница полосы достигается, условие
    ∣x−a∣<δ|x-a|<\delta не позволяет дойти до ближайшей граничной точки. На
    стороне, где граница не достигается, график и без дополнительного
    ограничения остаётся внутри полосы. Следовательно,f(a)−ε<f(x)<f(a)+εf(a)-\varepsilon<f(x)<f(a)+\varepsilonчто равносильно требуемому неравенству.

    На рисунке показана схема построения. Гладкая кривая служит только
    моделью произвольного данного непрерывного графика; выбор δ\delta
    определяется описанным геометрическим правилом и не зависит от формы
    этой модели.
  2. 2

    Построение графика

    Проводим полосу
    f(a)−ε<y<f(a)+εf(a)-\varepsilon<y<f(a)+\varepsilon, находим ближайшие выходы
    графика из неё слева и справа и берём меньшее из двух горизонтальных
    расстояний.график к задаче Демидовича № 662

Проверка

Ответ. Можно взятьδ=min⁡{a−x−, x+−a}\delta=\min\{a-x_-,\,x_+-a\}
Демидович № 662 — решение и ответ