Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 663

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 663

Требуется изготовить металлическую квадратную пластинку, сторона которой x0=10x_0=10 см. В каких пределах допустимо изменять сторону xx этой пластинки, если площадь ее y=x2y=x^2 может отличаться от проектной y0=100y_0=100 см2^2 не больше чем:

а) на ±1\pm1 см2^2; б) на ±0,1\pm0{,}1 см2^2; в) на ±0,01\pm0{,}01 см2^2; г) на ±ε\pm\varepsilon (см2^2)?
Ответ:99⩽x⩽101,xmin⁡≈9,949874 см,xmax⁡≈10,049876 см\sqrt{99}\leqslant x\leqslant\sqrt{101},
\qquad
x_{\min}\approx9{,}949874\ \text{см},
\quad
x_{\max}\approx10{,}049876\ \text{см}99,9⩽x⩽100,1,xmin⁡≈9,994999 см,xmax⁡≈10,004999 см\sqrt{99{,}9}\leqslant x\leqslant\sqrt{100{,}1},
\qquad
x_{\min}\approx9{,}994999\ \text{см},
\quad
x_{\max}\approx10{,}004999\ \text{см}99,99⩽x⩽100,01,xmin⁡≈9,999500 см,xmax⁡≈10,000500 см\sqrt{99{,}99}\leqslant x\leqslant\sqrt{100{,}01},
\qquad
x_{\min}\approx9{,}999500\ \text{см},
\quad
x_{\max}\approx10{,}000500\ \text{см}x∈{[100−ε,100+ε],0<ε<100,(0,100+ε],ε⩾100.x\in
\begin{cases}
\left[\sqrt{100-\varepsilon},\sqrt{100+\varepsilon}\right],
&0<\varepsilon<100,\\[2pt]
\left(0,\sqrt{100+\varepsilon}\right],
&\varepsilon\geqslant100.
\end{cases}

Решение

Идея

Пусть допустимая абсолютная погрешность площади равна η>0\eta>0. Слова «не больше чем» означают, что∣x2−100∣⩽η|x^2-100|\leqslant\etaЕсли 0<η<1000<\eta<100, то с учётом положительности длины стороны это неравенство равносильно двойному неравенству100−η⩽x⩽100+η\sqrt{100-\eta}\leqslant x\leqslant\sqrt{100+\eta}При η⩾100\eta\geqslant100 нижнее неравенство x2⩾100−ηx^2\geqslant100-\eta выполняется для любой положительной длины стороны, поэтому остаётся условие 0<x⩽100+η0<x\leqslant\sqrt{100+\eta}.
При η=1\eta=1 получаем

При η=0,1\eta=0{,}1

При η=0,01\eta=0{,}01

Проверка

В общем случае полагаем η=ε\eta=\varepsilon.
Демидович № 663 — решение и ответ