Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 663

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 663

Требуется изготовить металлическую квадратную пластинку, сторона которой x0=10x_0=10 см. В каких пределах допустимо изменять сторону xx этой пластинки, если площадь ее y=x2y=x^2 может отличаться от проектной y0=100y_0=100 см2^2 не больше чем:

а) на ±1\pm1 см2^2; б) на ±0,1\pm0{,}1 см2^2; в) на ±0,01\pm0{,}01 см2^2; г) на ±ε\pm\varepsilon (см2^2)?
Ответ:Все длины в сантиметрах:а)  99⩽x⩽101;б)  99,9⩽x⩽100,1;в)  99,99⩽x⩽100,01;г)  x∈{[100−ε,100+ε],0<ε<100,(0,100+ε],ε⩾100.\begin{aligned}
\text{а)}\;&\sqrt{99}\leqslant x\leqslant\sqrt{101};\\
\text{б)}\;&\sqrt{99{,}9}\leqslant x\leqslant\sqrt{100{,}1};\\
\text{в)}\;&\sqrt{99{,}99}\leqslant x\leqslant\sqrt{100{,}01};\\
\text{г)}\;&x\in\begin{cases}[\sqrt{100-\varepsilon},\sqrt{100+\varepsilon}],&0<\varepsilon<100,\\(0,\sqrt{100+\varepsilon}],&\varepsilon\geqslant100.\end{cases}
\end{aligned}

Решение

Пусть допустимая погрешность площади равна η>0\eta>0. Проектная площадь равна 102=10010^2=100 см2^2. Требование «не больше чем» записывается как
∣x2−100∣⩽η⟺100−η⩽x2⩽100+η.|x^2-100|\leqslant\eta
\quad\Longleftrightarrow\quad 100-\eta\leqslant x^2\leqslant100+\eta.Если 0<η<1000<\eta<100, обе границы положительны. Поскольку длина стороны x>0x>0, извлекаем квадратные корни:100−η⩽x⩽100+η.\sqrt{100-\eta}\leqslant x\leqslant\sqrt{100+\eta}.Подставим три допуска; все длины в следующей таблице выражены в сантиметрах:пунктη100−η⩽x2⩽100+ηдопустимые xа)199⩽x2⩽10199⩽x⩽101б)0,199,9⩽x2⩽100,199,9⩽x⩽100,1в)0,0199,99⩽x2⩽100,0199,99⩽x⩽100,01\begin{array}{c|c|c|c}
\text{пункт}&\eta&100-\eta\leqslant x^2\leqslant100+\eta&\text{допустимые }x\\\hline
\text{а)}&1&99\leqslant x^2\leqslant101&\sqrt{99}\leqslant x\leqslant\sqrt{101}\\
\text{б)}&0{,}1&99{,}9\leqslant x^2\leqslant100{,}1&\sqrt{99{,}9}\leqslant x\leqslant\sqrt{100{,}1}\\
\text{в)}&0{,}01&99{,}99\leqslant x^2\leqslant100{,}01&\sqrt{99{,}99}\leqslant x\leqslant\sqrt{100{,}01}
\end{array}Пункт г). При 0<ε<1000<\varepsilon<100 используем ту же формулу с η=ε\eta=\varepsilon. Если ε⩾100\varepsilon\geqslant100, нижнее ограничение на квадрат выполняется автоматически, и остаётся 0<x⩽100+ε0<x\leqslant\sqrt{100+\varepsilon}.