Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 694

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если

y=\operatorname{sgn}\left(\sin\frac\pi x\right)

ВыводТочки

x=1/k

k\in\mathbb Z\setminus\{0\}

, являются
точками разрыва первого рода. Точка

x=0

является колебательной точкой
разрыва второго рода.

Решение

Идея

Функция не определена при

x=0

. При

x\ne0

изменение знака возможно
только в нулях синуса:

\sin\frac\pi x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac1x=k \quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac1k, \qquad k\in\mathbb Z\setminus\{0\}

В каждой точке

x=1/k

значение функции равно нулю, а односторонние
пределы равны

-1

1

в некотором порядке. Следовательно, это точки
разрыва первого рода со скачком по модулю

2

Точки

1/k

накапливаются к нулю. В любой проколотой окрестности нуля
функция принимает значения

-1

0

1

, поэтому предела при

x\to0

не существует.