Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 694

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если

Задача 694

y=sgn⁡(sin⁡πx)y=\operatorname{sgn}\left(\sin\frac\pi x\right)
ВыводТочки x=1/kx=1/k, k∈Z∖{0}k\in\mathbb Z\setminus\{0\}, являются
точками разрыва первого рода. Точка x=0x=0 является колебательной точкой
разрыва второго рода.

Решение

Функция не определена при x=0x=0. При x≠0x\ne0 изменение знака возможно
только в нулях синуса:sin⁡πx=0⟺1x=k⟺x=1k,k∈Z∖{0}\sin\frac\pi x=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
\frac1x=k
\quad\Longleftrightarrow\quad
x=\frac1k,
\qquad
k\in\mathbb Z\setminus\{0\}Уточним стороны скачка. Пусть x=1/k+hx=1/k+h, где h→0h\to0. Тогда1x−k=−k2h1+kh.\frac1x-k=-\frac{k^2h}{1+kh}.При малом ∣h∣|h| знаменатель положителен, поэтому эта разность имеет знак, противоположный знаку hh. По формулеsin⁡(π/x)=(−1)ksin⁡(π(1/x−k))\sin(\pi/x)=(-1)^k\sin\bigl(\pi(1/x-k)\bigr)получаемf(1/k−0)=(−1)k,f(1/k+0)=(−1)k+1,f(1/k)=0.f(1/k-0)=(-1)^k,\qquad f(1/k+0)=(-1)^{k+1},\qquad f(1/k)=0.Это разрыв первого рода со скачком −2(−1)k-2(-1)^k, модуль которого равен 22. В остальных ненулевых точках синус не равен нулю и по непрерывности сохраняет знак в некоторой окрестности. Там функция постоянна и непрерывна.
Точки 1/k1/k накапливаются к нулю. На последовательностях xn=1/(2n+1/2)x_n=1/(2n+1/2) и zn=1/(2n+3/2)z_n=1/(2n+3/2) значения синуса равны соответственно 11 и −1-1, а значит, такими же являются значения ff. Обе последовательности стремятся к нулю; их разные пределы исключают предел ff в нуле.