Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 680

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Задача 680

f(x)=xsin⁡1x,x≠0,f(0)=0f(x)=x\sin\frac1x,
\qquad x\neq0,
\qquad f(0)=0
ПостроениеФункция непрерывна на R\mathbb R.

Построение

Идея

При x≠0x\neq0 функция непрерывна как произведение непрерывных функций.
В точке x=0x=0 используем оценку∣xsin⁡1x∣⩽∣x∣\left|x\sin\frac1x\right|
\leqslant |x|Так как ∣x∣→0|x|\to0 при x→0x\to0, по теореме о двух милиционерахlim⁡x→0xsin⁡1x=0=f(0)\lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0=f(0)Следовательно, функция непрерывна и в нуле, а значит, непрерывна на всей
числовой прямой.
  1. 1
    Кроме того, функция чётная:f(−x)=(−x)sin⁡(−1x)=xsin⁡1x=f(x)f(-x)=(-x)\sin\left(-\frac1x\right)
    =x\sin\frac1x=f(x)    Из неравенства−∣x∣⩽xsin⁡1x⩽∣x∣-|x|\leqslant x\sin\frac1x\leqslant |x|видно, что все колебания около нуля заключены между прямыми
    y=−∣x∣y=-|x| и y=∣x∣y=|x|, а их амплитуда стремится к нулю.
  2. 2

    Построение графика

    Пунктиром показаны огибающие y=∣x∣y=|x| и y=−∣x∣y=-|x|.
    Они поясняют непрерывное затухание колебаний в точке (0,0)(0,0).график к задаче Демидовича № 680

Проверка

Ответ. Функция непрерывна на R\mathbb R.
Демидович № 680 — решение и ответ