Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции
Демидович — задача 680
Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.
Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию
Задача 680
Построение
При функция непрерывна как произведение непрерывных функций.
В точке используем оценкуТак как при , по теореме о зажатой функцииСледовательно, функция непрерывна и в нуле, а значит, непрерывна на всей
числовой прямой.Кроме того, функция чётная:Из неравенствавидно, что все колебания около нуля заключены между прямыми
и , а их амплитуда стремится к нулю.
Они поясняют непрерывное затухание колебаний в точке .
В точке используем оценкуТак как при , по теореме о зажатой функцииСледовательно, функция непрерывна и в нуле, а значит, непрерывна на всей
числовой прямой.
и , а их амплитуда стремится к нулю.
Построение графика
Пунктиром показаны огибающие и .Они поясняют непрерывное затухание колебаний в точке .