Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 693

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если

y=\cos^2\frac1x

Вывод

x=0

— колебательная точка разрыва второго рода. При

x\ne0

функция непрерывна.

Решение

Идея

При

x\ne0

функция является композицией непрерывных функций. В точке

x=0

рассмотрим две последовательности:

x_n=\frac1{n\pi}

z_n=\frac1{\frac\pi2+n\pi}

Обе последовательности стремятся к нулю, но

\cos^2\frac1{x_n}=\cos^2(n\pi)=1

\begin{aligned} \cos^2\frac1{z_n} &= \cos^2\left(\frac\pi2+n\pi\right) = 0 \end{aligned}

Поэтому предела при

x\to0

не существует.