Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 683

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Задача 683

f(x)=xln⁡x2,x≠0,f(0)=af(x)=x\ln x^2,
\qquad x\neq0,
\qquad f(0)=a
ПостроениеФункция непрерывна на R\mathbb R при a=0a=0. При a≠0a\neq0
она непрерывна на R∖{0}\mathbb R\setminus\{0\} и имеет устранимый разрыв в
нуле.

Построение

Идея

При x≠0x\neq0 функция непрерывна. Для исследования точки x=0x=0 запишемxln⁡x2=2xln⁡∣x∣x\ln x^2=2x\ln|x|При t=∣x∣→0+t=|x|\to0^+ известный предел даётlim⁡t→0+tln⁡t=0\lim_{t\to0^+}t\ln t=0При этом∣xln⁡x2∣=2∣x∣∣ln⁡∣x∣∣=2∣tln⁡t∣⟶0\left|x\ln x^2\right|
=2|x|\left|\ln|x|\right|
=2|t\ln t|\longrightarrow0Следовательно,lim⁡x→0xln⁡x2=0\lim_{x\to0}x\ln x^2=0Функция непрерывна при x=0x=0 тогда и только тогда, когда a=0a=0. Если
a≠0a\neq0, то в нуле имеется устранимый разрыв.
  1. 1
    На множестве R∖{0}\mathbb R\setminus\{0\} график функции y=xln⁡x2y=x\ln x^2
    симметричен относительно начала координат. Вся функция ff, включая значение
    в нуле, является нечётной только при a=0a=0. При x≠0x\neq0f′(x)=ln⁡x2+2f'(x)=\ln x^2+2Критические точки определяются равенством ∣x∣=e−1|x|=e^{-1}. Знак производной
    описывается условиямиf′(x){>0,∣x∣>1e,<0,0<∣x∣<1e.f'(x)
    \begin{cases}
    >0, & |x|>\frac1e,\\[1mm]
    <0, & 0<|x|<\frac1e.
    \end{cases}    Поэтому график имеет локальный максимум(−1e,2e)\left(-\frac1e,\frac2e\right)и локальный минимум(1e,−2e)\left(\frac1e,-\frac2e\right)Кроме того, отдельная точка x=0x=0 является строгим локальным максимумом
    при a>0a>0 и строгим локальным минимумом при a<0a<0; при a=0a=0 экстремума
    в нуле нет.
  2. 2

    Построение графика

    На рисунке для примера выбран случай a=1,45a=1{,}45:
    точка (0,0)(0,0) выколота, а значение (0,a)(0,a) отмечено отдельно. При a=0a=0
    выколотая точка заменяется закрашенной, и график становится непрерывным.график к задаче Демидовича № 683

Проверка

Ответ. Функция непрерывна на R\mathbb R при a=0a=0. При a≠0a\neq0
она непрерывна на R∖{0}\mathbb R\setminus\{0\} и имеет устранимый разрыв в
нуле.
Демидович № 683 — решение и ответ