Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 683

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Задача 683

f(x)=xln⁡x2,x≠0,f(0)=af(x)=x\ln x^2,
\qquad x\neq0,
\qquad f(0)=a
ПостроениеФункция непрерывна на R\mathbb R при a=0a=0. При a≠0a\neq0
она непрерывна на R∖{0}\mathbb R\setminus\{0\} и имеет устранимый разрыв в
нуле.

Построение

При x≠0x\neq0 функция непрерывна. Для исследования точки x=0x=0 запишемxln⁡x2=2xln⁡∣x∣x\ln x^2=2x\ln|x|При t=∣x∣→0+t=|x|\to0^+ известный предел даётlim⁡t→0+tln⁡t=0\lim_{t\to0^+}t\ln t=0При этом∣xln⁡x2∣=2∣x∣∣ln⁡∣x∣∣=2∣tln⁡t∣⟶0\left|x\ln x^2\right|
=2|x|\left|\ln|x|\right|
=2|t\ln t|\longrightarrow0Следовательно,lim⁡x→0xln⁡x2=0\lim_{x\to0}x\ln x^2=0Функция непрерывна при x=0x=0 тогда и только тогда, когда a=0a=0. Если
a≠0a\neq0, то в нуле имеется устранимый разрыв.
На множестве R∖{0}\mathbb R\setminus\{0\} график функции y=xln⁡x2y=x\ln x^2
симметричен относительно начала координат. Вся функция ff, включая значение
в нуле, является нечётной только при a=0a=0. Для положительного аргумента положим t=xt=x. Докажем tln⁡t⩾−1/et\ln t\geqslant-1/e. В ранее установленном неравенстве ln⁡z⩽z−1\ln z\leqslant z-1 возьмём z=1/(et)z=1/(et):−1−ln⁡t⩽1et−1,−ln⁡t⩽1et,tln⁡t⩾−1e.-1-\ln t\leqslant\frac1{et}-1,
\qquad -\ln t\leqslant\frac1{et},
\qquad t\ln t\geqslant-\frac1e.Равенство возможно только при z=1z=1, то есть t=1/et=1/e. Поэтому на правой ветви f(x)=2xln⁡xf(x)=2x\ln x минимум достигается в точке (1/e,−2/e)(1/e,-2/e). По нечётности ненулевой части графика левая ветвь имеет максимум в (−1/e,2/e)(-1/e,2/e). Координаты получены без округлений.
Кроме того, отдельная точка x=0x=0 является строгим локальным максимумом
при a>0a>0 и строгим локальным минимумом при a<0a<0; при a=0a=0 экстремума
в нуле нет.

Построение графика

На рисунке схематически показан случай a>0a>0:
точка (0,0)(0,0) выколота, а значение (0,a)(0,a) отмечено отдельно. При a=0a=0
выколотая точка заменяется закрашенной, и график становится непрерывным.график к задаче Демидовича № 683
Демидович № 683 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика