Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 677

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Задача 677

f(x)=1(1+x)2,x≠−1f(x)=\frac1{(1+x)^2},\quad x\ne-1Значение f(−1)f(-1) задано произвольно.
ПостроениеФункция непрерывна на R∖{−1}\mathbb R\setminus\{-1\}. В точке
x=−1x=-1 при любом конечном значении f(−1)f(-1) она имеет бесконечный
разрыв второго рода.

Построение

Идея

На каждом из промежутков (−∞,−1)(-\infty,-1) и (−1,+∞)(-1,+\infty) функция
задаётся рациональным выражением с ненулевым знаменателем, поэтому
непрерывна. При приближении к точке x=−1x=-1 с обеих сторонlim⁡x→−1−1(1+x)2=+∞,lim⁡x→−1+1(1+x)2=+∞\lim_{x\to-1^-}\frac1{(1+x)^2}=+\infty,
\qquad
\lim_{x\to-1^+}\frac1{(1+x)^2}=+\inftyСледовательно, x=−1x=-1 является вертикальной асимптотой. Никакое
конечное произвольно назначенное значение f(−1)f(-1) не может устранить
бесконечный разрыв. Кроме того,lim⁡x→±∞1(1+x)2=0\lim_{x\to\pm\infty}\frac1{(1+x)^2}=0поэтому y=0y=0 является горизонтальной асимптотой.
  1. 1

    Построение графика

    Строим две положительные ветви и проводим
    вертикальную асимптоту x=−1x=-1. При этом горизонтальная асимптота y=0y=0
    совпадает с осью OxOx, поэтому отдельно её не дублируем. Произвольное
    значение f(−1)=Af(-1)=A показываем отдельной закрашенной точкой; её
    вертикальное положение на схеме условно.график к задаче Демидовича № 677

Проверка

Ответ. Функция непрерывна на R∖{−1}\mathbb R\setminus\{-1\}. В точке
x=−1x=-1 при любом конечном значении f(−1)f(-1) она имеет бесконечный
разрыв второго рода.
Демидович № 677 — решение и ответ