Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 677

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

f(x)=\frac1{(1+x)^2},\quad x\ne-1

Значение

f(-1)

задано произвольно.

ПостроениеФункция непрерывна на

\mathbb R\setminus\{-1\}

. В точке

x=-1

при любом конечном значении

f(-1)

она имеет бесконечный
разрыв второго рода.

Построение

На каждом из промежутков

(-\infty,-1)

(-1,+\infty)

функция
задаётся рациональным выражением с ненулевым знаменателем, поэтому
непрерывна. При приближении к точке

x=-1

с обеих сторон

\lim_{x\to-1^-}\frac1{(1+x)^2}=+\infty,\qquad\lim_{x\to-1^+}\frac1{(1+x)^2}=+\infty

Следовательно,

x=-1

является вертикальной асимптотой. Никакое
конечное произвольно назначенное значение

f(-1)

не может устранить
бесконечный разрыв. Кроме того,

\lim_{x\to\pm\infty}\frac1{(1+x)^2}=0

поэтому

y=0

является горизонтальной асимптотой.

Строим две положительные ветви и проводим
вертикальную асимптоту

x=-1

. При этом горизонтальная асимптота

y=0

совпадает с осью

Ox

, поэтому отдельно её не дублируем. Произвольное
значение

f(-1)=A

показываем отдельной закрашенной точкой; её
вертикальное положение на схеме условно. график к задаче Демидовича № 677