Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 671

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 671

Пусть для каждого достаточно малого числа δ>0\delta>0 существует
ε=ε(δ,x0)>0\varepsilon=\varepsilon(\delta,x_0)>0 такое, что если
∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta, то выполнено неравенство∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilonСледует ли отсюда, что функция f(x)f(x) непрерывна при x=x0x=x_0? Какое
свойство функции f(x)f(x) описывается данными неравенствами?
Ответ:Непрерывность не следует. Условие описывает локальную
ограниченность функции в окрестности точки x0x_0.

Решение

Идея

В условии число ε\varepsilon не обязано быть сколь угодно малым. Оно
может зависеть от δ\delta и оставаться большим, поэтому условие не
контролирует стремление f(x)f(x) к f(x0)f(x_0).
Например, положимf(x0)=0,f(x)=1при x≠x0f(x_0)=0,
\qquad
f(x)=1
\quad\text{при }x\ne x_0Для любого δ>0\delta>0 можно взять ε=2\varepsilon=2. Тогда∣x−x0∣<δ⟹∣f(x)−f(x0)∣⩽1<2|x-x_0|<\delta
\quad\Longrightarrow\quad
|f(x)-f(x_0)|\leqslant1<2но функция разрывна в точке x0x_0.

Проверка

Данное условие означает, что в некоторой окрестности точки x0x_0
величина ∣f(x)−f(x0)∣|f(x)-f(x_0)| ограничена. Иными словами, функция локально
ограничена в точке x0x_0. Действительно, достаточно взять одно из малых
значений δ\delta; обратно, локальная ограниченность автоматически
сохраняется при уменьшении окрестности.
Демидович № 671 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика