Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 675

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

Задача 675

f(x)=∣x∣f(x)=|x|
ПостроениеФункция непрерывна на R\mathbb R.

Построение

Абсолютная величина определена при всех x∈Rx\in\mathbb R. При x<0x<0
имеем ∣x∣=−x|x|=-x, а при x⩾0x\geqslant0 имеем ∣x∣=x|x|=x, поэтомуf(x)={−x,x<0x,x⩾0f(x)=
\begin{cases}
-x, & x<0\\
x, & x\geqslant0
\end{cases}Обе линейные части непрерывны внутри своих промежутков. В точке их
стыкаlim⁡x→0−∣x∣=0,lim⁡x→0+∣x∣=0,f(0)=0\lim_{x\to0^-}|x|=0,
\qquad
\lim_{x\to0^+}|x|=0,
\qquad
f(0)=0Следовательно, функция непрерывна и при x=0x=0, а значит, непрерывна
на всей числовой прямой. В точке x=0x=0 график имеет угол, но это не мешает непрерывности: обе ветви подходят к одному значению 00.

Построение графика

Строим два луча y=−xy=-x при x<0x<0 и y=xy=x при
x⩾0x\geqslant0. Они соединяются в точке (0,0)(0,0).график к задаче Демидовича № 675
Демидович № 675 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика