Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 675

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и изобразить графически функцию

f(x)=|x|

ПостроениеФункция непрерывна на

\mathbb R

Построение

Идея

Абсолютная величина определена при всех

x\in\mathbb R

. При

x<0

имеем

|x|=-x

, а при

x\geqslant0

имеем

|x|=x

, поэтому

f(x)=\begin{cases}-x, & x<0\\x, & x\geqslant0\end{cases}

Обе линейные части непрерывны внутри своих промежутков. В точке их
стыка

\lim_{x\to0^-}|x|=0,\qquad\lim_{x\to0^+}|x|=0,\qquadf(0)=0

Следовательно, функция непрерывна и при

x=0

, а значит, непрерывна
на всей числовой прямой. В точке

x=0

график имеет угол, поэтому
непрерывность здесь не сопровождается дифференцируемостью.

1
Построение графика
Строим два луча $y=-x$ при $x<0$ и $y=x$ при
$x\geqslant0$ . Они соединяются в точке $(0,0)$ . $график к задаче Демидовича № 675$

Проверка

Ответ. Функция непрерывна на

\mathbb R