Раздел I. Введение в анализ — § 4

Демидович § 4. Графическое изображение функции

Условия, ответы и подробные решения задач 237–380

Задачи 237–380

148 из 148 с разбором

Графики тригонометрических функций

284–310

Задача 287

Построить график функции y=acos⁡x+bsin⁡xy=a\cos x+b\sin x, приведя её к виду
y=Asin⁡(x−x0)y=A\sin(x-x_0). Рассмотреть пример: y=6cos⁡x+8sin⁡xy=6\cos x+8\sin x.
Построить графики тригонометрических функций:

Задача 288

y=cos⁡xy=\cos x

Задача 289

y=tg⁡xy=\operatorname{tg}x

Задача 290

y=ctg⁡xy=\operatorname{ctg}x

Задача 291

y=sec⁡xy=\sec x

Задача 292

y=csc⁡xy=\operatorname{csc}x

Задача 293

y=sin⁡2xy=\sin^2x

Задача 294

y=sin⁡3xy=\sin^3x

Задача 295

y=ctg⁡2xy=\operatorname{ctg}^2x

Задача 296

y=sin⁡x⋅sin⁡3xy=\sin x\cdot\sin3x

Задача 297

y=±cos⁡xy=\pm\sqrt{\cos x}
Построить графики функций:

Задача 298

y=sin⁡x2y=\sin x^2

Задача 299

y=sin⁡1xy=\sin\frac1x

Задача 300

а) y=cos⁡πxб) y=sin⁡x⋅sin⁡1x\text{а) }y=\cos\frac\pi x
\qquad
\text{б) }y=\sin x\cdot\sin\frac1x

Задача 301

а) y=tg⁡πxб) y=sec⁡1x\text{а) }y=\operatorname{tg}\frac\pi x
\qquad
\text{б) }y=\sec\frac1x

Задача 302

y=x(2+sin⁡1x)y=x\left(2+\sin\frac1x\right)

Задача 303

y=±1−x2sin⁡πxy=\pm\sqrt{1-x^2}\sin\frac\pi x

Задача 304

y=sin⁡xxy=\frac{\sin x}{x}

Задача 305

y=excos⁡xy=e^x\cos x

Задача 306

y=±2−xsin⁡πxy=\pm2^{-x}\sqrt{\sin\pi x}

Задача 307

y=cos⁡x1+x2y=\frac{\cos x}{1+x^2}

Задача 308

y=ln⁡(cos⁡x)y=\ln(\cos x)

Задача 309

y=cos⁡(ln⁡x)y=\cos(\ln x)

Задача 310

y=e1sin⁡xy=e^{\frac{1}{\sin x}}

Графики обратных тригонометрических функций

311–324
Построить графики обратных круговых функций:

Задача 311

y=arcsin⁡xy=\arcsin x

Задача 312

y=arccos⁡xy=\arccos x

Задача 313

y=arctg⁡xy=\operatorname{arctg}x

Задача 314

y=arcctg⁡xy=\operatorname{arcctg}x

Задача 315

y=arcsin⁡1xy=\arcsin\frac1x

Задача 316

y=arccos⁡1xy=\arccos\frac1x

Задача 317

y=arcctg⁡1xy=\operatorname{arcctg}\frac1x

Задача 318

y=arcsin⁡(sin⁡x)y=\arcsin(\sin x)

Задача 319

y=arcsin⁡(cos⁡x)y=\arcsin(\cos x)

Задача 320

y=arccos⁡(cos⁡x)y=\arccos(\cos x)

Задача 321

y=arctg⁡(tg⁡x)y=\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}x)

Задача 322

y=arcsin⁡(2sin⁡x)y=\arcsin(2\sin x)

Задача 323

Построить график функции y=arcsin⁡y1y=\arcsin y_1, если:а) y1=1−x2б) y1=2x1+x2\text{а) }y_1=1-\frac{x}{2}
\qquad
\text{б) }y_1=\frac{2x}{1+x^2}в) y1=1−x1+xг) y1=ex\text{в) }y_1=\frac{1-x}{1+x}
\qquad
\text{г) }y_1=e^x

Задача 324.1

Построить график функции y=arctg⁡y1y=\operatorname{arctg}y_1, если:а) y1=x2б) y1=1x2в) y1=ln⁡xг) y1=1sin⁡x\text{а) }y_1=x^2
\qquad
\text{б) }y_1=\frac1{x^2}
\qquad
\text{в) }y_1=\ln x
\qquad
\text{г) }y_1=\frac1{\sin x}

Задача 324.2

Построить графики функций:а) y=x3−3x+2б) y=x3(1−x)(1+x)2\text{а) }y=x^3-3x+2
\qquad
\text{б) }y=\frac{x^3}{(1-x)(1+x)^2}в) y=x2∣x∣−1г) y=x(1−x2)\text{в) }y=\frac{x^2}{|x|-1}
\qquad
\text{г) }y=\sqrt{x(1-x^2)}д) y=3sin⁡(x2+π4)е) y=ctg⁡πx1+x2\text{д) }y=3\sin\left(\frac x2+\frac\pi4\right)
\qquad
\text{е) }y=\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{1+x^2}ж) y=11−2x1−xз) y=lg⁡(x2−3x+2)\text{ж) }y=\frac1{1-2^{\frac{x}{1-x}}}
\qquad
\text{з) }y=\lg(x^2-3x+2)и) y=arcsin⁡(32−sin⁡x)\text{и) }y=\arcsin\left(\frac32-\sin x\right)к) y=arctg⁡(1x−1+1x−2+1x−3)\text{к) }y=\operatorname{arctg}\left(
\frac1{x-1}+\frac1{x-2}+\frac1{x-3}
\right)л) y=log⁡cos⁡xsin⁡xм) y=(sin⁡x)ctg⁡x\text{л) }y=\log_{\cos x}\sin x
\qquad
\text{м) }y=(\sin x)^{\operatorname{ctg}x}

Преобразования и построение сложных графиков

325–350

Задача 325

Зная график функции y=f(x)y=f(x), построить графики функций:а) y=−f(x);б) y=f(−x);в) y=−f(−x)\text{а) }y=-f(x);\quad \text{б) }y=f(-x);\quad \text{в) }y=-f(-x)г) y=f(x−x0);д) y=y0+f(x−x0);е) y=f(2x)\text{г) }y=f(x-x_0);\quad \text{д) }y=y_0+f(x-x_0);\quad \text{е) }y=f(2x)ж) y=f(kx+b)(k≠0)\text{ж) }y=f(kx+b)\qquad(k\ne0)

Задача 326

Пустьf(x)={1−∣x∣,∣x∣⩽10,∣x∣>1f(x)=
\begin{cases}
1-|x|,&|x|\leqslant1\\[5pt]
0,&|x|>1
\end{cases}Построить графики функцийy=12[f(x−t)+f(x+t)]y=\frac12[f(x-t)+f(x+t)]при t=0,1,2t=0,1,2.

Задача 327

Построить графики функций:а) y=2+1−xб) y=1−e−x\text{а) }y=2+\sqrt{1-x}
\qquad
\text{б) }y=1-e^{-x}в) y=ln⁡(1+x)г) y=−arcsin⁡(1+x)д) y=3+2cos⁡3x\text{в) }y=\ln(1+x)
\qquad
\text{г) }y=-\arcsin(1+x)
\qquad
\text{д) }y=3+2\cos3x

Задача 328

Зная график функции y=f(x)y=f(x), построить графики функций:а) y=∣f(x)∣б) y=12(∣f(x)∣+f(x))в) y=12(∣f(x)∣−f(x))\text{а) }y=|f(x)|
\qquad
\text{б) }y=\frac12\bigl(|f(x)|+f(x)\bigr)
\qquad
\text{в) }y=\frac12\bigl(|f(x)|-f(x)\bigr)г) y=f2(x)д) y=f(x)е) y=ln⁡f(x)\text{г) }y=f^2(x)
\qquad
\text{д) }y=\sqrt{f(x)}
\qquad
\text{е) }y=\ln f(x)ж) y=f(f(x))з) y=sgn⁡f(x)и) y=[f(x)]\text{ж) }y=f(f(x))
\qquad
\text{з) }y=\operatorname{sgn}f(x)
\qquad
\text{и) }y=[f(x)]

Задача 329

1. Пустьf(x)=(x−a)(b−x)a<bf(x)=(x-a)(b-x)
\qquad
a<bПостроить графики функций:а) y=f(x)б) y=f2(x)в) y=1f(x)г) y=f(x)\text{а) }y=f(x)
\quad
\text{б) }y=f^2(x)
\quad
\text{в) }y=\frac1{f(x)}
\quad
\text{г) }y=\sqrt{f(x)}д) y=ef(x)е) y=lg⁡f(x)ж) y=arcctg⁡f(x)\text{д) }y=e^{f(x)}
\quad
\text{е) }y=\lg f(x)
\quad
\text{ж) }y=\operatorname{arcctg}f(x)2. Построить графики функций:а) y=arcsin⁡[sin⁡f(x)]б) y=arcsin⁡[cos⁡f(x)]\text{а) }y=\arcsin[\sin f(x)]
\quad
\text{б) }y=\arcsin[\cos f(x)]в) y=arccos⁡[sin⁡f(x)]г) y=arccos⁡[cos⁡f(x)]д) y=arctg⁡[tg⁡f(x)]\text{в) }y=\arccos[\sin f(x)]
\quad
\text{г) }y=\arccos[\cos f(x)]
\quad
\text{д) }y=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}f(x)]если: 1) f(x)=x2f(x)=x^2; 2) f(x)=x3f(x)=x^3.

Задача 330

Зная графики функций y=f(x)y=f(x) и y=g(x)y=g(x), построить графики функций:а) y=f(x)+g(x)б) y=f(x)g(x)в) y=f(g(x))\text{а) }y=f(x)+g(x)
\qquad
\text{б) }y=f(x)g(x)
\qquad
\text{в) }y=f(g(x))
Применяя правило сложения графиков, построить график функции

Задача 331

y=1+x+exy=1+x+e^x

Задача 332

y=(x+1)−2+(x−1)−2y=(x+1)^{-2}+(x-1)^{-2}

Задача 333

y=x+sin⁡xy=x+\sin x

Задача 334

y=x+arctg⁡xy=x+\operatorname{arctg}x

Задача 335

y=cos⁡x+12cos⁡2x+13cos⁡3xy=\cos x+\frac12\cos2x+\frac13\cos3x

Задачи 51–100 из 148