Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 322

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики обратных круговых функций:

Задача 322

y=arcsin⁡(2sin⁡x)y=\arcsin(2\sin x)
ПостроениеОбласть определения состоит из отрезков
[kπ−π6,kπ+π6]\left[k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{6}\right]; функция имеет
период 2π2\pi и множество значений
[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].

Построение

Идея

Аргумент арксинуса должен принадлежать отрезку [−1,1][-1,1]. Поэтому∣2sin⁡x∣⩽1⟺∣sin⁡x∣⩽12|2\sin x|\leqslant1
\qquad\Longleftrightarrow\qquad
|\sin x|\leqslant\frac12ОтсюдаD=⋃k∈Z[kπ−π6,kπ+π6]D=\bigcup_{k\in\mathbb Z}
\left[k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{6}\right]На каждом таком отрезке число 2sin⁡x2\sin x пробегает весь отрезок
[−1,1][-1,1], поэтомуE=[−π2,π2]E=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]Функция нечётная. Кроме того,f(x+2π)=f(x)f(x+π)=−f(x)f(x+2\pi)=f(x)
\qquad
f(x+\pi)=-f(x)Поэтому 2π2\pi является периодом, а π\pi периодом не является:
например, f(π/12)≠0f(\pi/12)\ne0, и при сдвиге на π\pi это значение меняет
знак. Наконец, если T>0T>0 является периодом, то из f(0)=0f(0)=0 следует
f(T)=0f(T)=0, то есть T=kπT=k\pi. Наименьший возможный положительный период
после исключения π\pi равен 2π2\pi.
  1. 1
    Нули равны x=kπx=k\pi. В концах каждой части области определения
    достигаются значения ±π/2\pm\pi/2.

    Идея. Во внутренних точках области определенияy′=2cos⁡x1−4sin⁡2xy'=\frac{2\cos x}{\sqrt{1-4\sin^2x}}На отрезках с центром 2πk2\pi k функция возрастает от −π/2-\pi/2 до
    π/2\pi/2, а на отрезках с центром (2k+1)π(2k+1)\pi убывает от π/2\pi/2 до
    −π/2-\pi/2. При приближении к концам модуль производной стремится к
    бесконечности, поэтому там имеются вертикальные касательные.
  2. 2

    Построение графика

    Строим отдельную дугу на каждом отрезке области
    определения. Между соседними отрезками графика нет; все граничные точки
    закрашены.график к задаче Демидовича № 322

Проверка

Ответ. Область определения состоит из отрезков
[kπ−π6,kπ+π6]\left[k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{6}\right]; функция имеет
период 2π2\pi и множество значений
[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].
Демидович № 322 — решение и ответ