Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 309

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

Задача 309

y=cos⁡(ln⁡x)y=\cos(\ln x)
ПостроениеФункция определена при x>0x>0, принимает значения из
[−1,1][-1,1] и удовлетворяет равенству f(e2πx)=f(x)f(e^{2\pi}x)=f(x); при
x→0+0x\to0+0 её колебания бесконечно сгущаются.

Построение

Идея

Логарифм существует только при x>0x>0, поэтомуD=(0,+∞)D=(0,+\infty)При x>0x>0 величина ln⁡x\ln x пробегает всю числовую прямую, а косинус
принимает на ней все значения от −1-1 до 11. ПоэтомуE=[−1,1]E=[-1,1]Функция не является периодической по переменной xx, однако обладает
мультипликативным повторением:f(e2πx)=cos⁡(ln⁡x+2π)=f(x)f(e^{2\pi}x)
=\cos\bigl(\ln x+2\pi\bigr)
=f(x)То есть при умножении аргумента на e2πe^{2\pi} форма волны повторяется.
  1. 1
    Характерные точки находятся из обычных значений косинуса. Максимумы
    равны 11 и достигаются приx=e2πkx=e^{2\pi k}минимумы равны −1-1 и достигаются приx=e(2k+1)πx=e^{(2k+1)\pi}а нули имеют видx=eπ2+πkk∈Zx=e^{\frac{\pi}{2}+\pi k}
    \qquad
    k\in\mathbb Z    Идея. Производная равнаy′=−sin⁡(ln⁡x)xy'=-\frac{\sin(\ln x)}{x}Поскольку x>0x>0, её знак определяется числом −sin⁡(ln⁡x)-\sin(\ln x). Это
    подтверждает чередование найденных максимумов и минимумов.

    При x→0+0x\to0+0 величина ln⁡x\ln x стремится к −∞-\infty. Поэтому функция
    совершает бесконечно много колебаний между −1-1 и 11 в любой правой
    окрестности нуля и предела при x→0+0x\to0+0 не имеет. При x→+∞x\to+\infty
    колебания продолжаются, причём расстояния между соседними характерными
    точками быстро растут.
  2. 2

    Построение графика

    Удобно положить t=ln⁡xt=\ln x. Тогда x=etx=e^t и
    y=cos⁡ty=\cos t. Замена x=etx=e^t нелинейно изменяет горизонтальную координату
    обычной косинусоиды: при x→0+0x\to0+0 волны сгущаются, а при
    x→+∞x\to+\infty расстояния между ними растут. На основном рисунке показываем
    общий вид кривой, а справа отдельно увеличиваем её участок около нуля.
    Вертикального отрезка при x=0x=0 нет, поскольку x=0∉Dx=0\notin D.график к задаче Демидовича № 309график к задаче Демидовича № 309

    Один участок вблизи x=0x=0

Проверка

Ответ. Функция определена при x>0x>0, принимает значения из
[−1,1][-1,1] и удовлетворяет равенству f(e2πx)=f(x)f(e^{2\pi}x)=f(x); при
x→0+0x\to0+0 её колебания бесконечно сгущаются.
Демидович № 309 — решение и ответ