Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 309

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

Задача 309

y=cos⁡(ln⁡x)y=\cos(\ln x)
ПостроениеФункция определена при x>0x>0, принимает значения из
[−1,1][-1,1] и удовлетворяет равенству f(e2πx)=f(x)f(e^{2\pi}x)=f(x); при
x→0+0x\to0+0 её колебания бесконечно сгущаются.

Построение

Логарифм существует только при x>0x>0, поэтомуD=(0,+∞)D=(0,+\infty)При x>0x>0 величина ln⁡x\ln x пробегает всю числовую прямую, а косинус
принимает на ней все значения от −1-1 до 11. ПоэтомуE=[−1,1]E=[-1,1]Функция не является периодической по переменной xx, однако обладает
мультипликативным повторением:f(e2πx)=cos⁡(ln⁡x+2π)=f(x)f(e^{2\pi}x)
=\cos\bigl(\ln x+2\pi\bigr)
=f(x)То есть при умножении аргумента на e2πe^{2\pi} форма волны повторяется. Положительного периода в обычном смысле нет уже из-за области определения: вместе с каждым x>0x>0 при периоде T>0T>0 в неё должно входить x−Tx-T, что невозможно при 0<x<T0<x<T.

Характерные точки находятся из обычных значений косинуса. Максимумы
равны 11 и достигаются приx=e2πkx=e^{2\pi k}минимумы равны −1-1 и достигаются приx=e(2k+1)πx=e^{(2k+1)\pi}а нули имеют видx=eπ2+πkk∈Zx=e^{\frac{\pi}{2}+\pi k}
\qquad
k\in\mathbb ZЗамена t=ln⁡xt=\ln x строго возрастает и сохраняет порядок точек. Поэтому соседние участки возрастания и убывания косинуса переходят в соответствующие участки новой кривой. Все повороты происходят в перечисленных точках.

При x→0+0x\to0+0 величина ln⁡x\ln x стремится к −∞-\infty. Поэтому функция
совершает бесконечно много колебаний между −1-1 и 11 в любой правой
окрестности нуля и предела при x→0+0x\to0+0 не имеет. При x→+∞x\to+\infty
колебания продолжаются, причём расстояния между соседними характерными
точками быстро растут.

Построение графика

Удобно положить t=ln⁡xt=\ln x. Тогда x=etx=e^t и
y=cos⁡ty=\cos t. Замена x=etx=e^t нелинейно изменяет горизонтальную координату
обычной косинусоиды: при x→0+0x\to0+0 волны сгущаются, а при
x→+∞x\to+\infty расстояния между ними растут. На основном рисунке показываем
общий вид кривой, а справа отдельно увеличиваем её участок около нуля.
Вертикального отрезка при x=0x=0 нет, поскольку x=0∉Dx=0\notin D.
график к задаче Демидовича № 309график к задаче Демидовича № 309
Один участок вблизи x=0x=0
Демидович № 309 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика