Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 314

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики обратных круговых функций:

Задача 314

y=arcctg⁡xy=\operatorname{arcctg}x
ПостроениеФункция строго убывает на R\mathbb R, принимает значения
из (0,π)(0,\pi) и имеет горизонтальные асимптоты y=0y=0 и y=πy=\pi.

Построение

Идея

Используем принятое в сборнике определение: функция
y=arcctg⁡xy=\operatorname{arcctg}x является обратной к котангенсу на промежутке
(0,π)(0,\pi). Котангенс на нём строго убывает от +∞+\infty до −∞-\infty.
ПоэтомуD=RE=(0,π)D=\mathbb R
\qquad
E=(0,\pi)Для всех действительных xx выполняетсяarcctg⁡x=π2−arctg⁡x\operatorname{arcctg}x
=\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg}xВ частности,arcctg⁡0=π2\operatorname{arcctg}0=\frac{\pi}{2}а такжеarcctg⁡(−x)=π−arcctg⁡x\operatorname{arcctg}(-x)=\pi-\operatorname{arcctg}xПоэтому график обладает центральной симметрией относительно точки
(0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right).
  1. 1
    Идея. Производная равнаy′=−11+x2<0y'=-\frac1{1+x^2}<0Следовательно, функция строго убывает. Её предельные значения равныlim⁡x→−∞arcctg⁡x=πlim⁡x→+∞arcctg⁡x=0\lim_{x\to-\infty}\operatorname{arcctg}x=\pi
    \qquad
    \lim_{x\to+\infty}\operatorname{arcctg}x=0    Поэтому прямые y=πy=\pi и y=0y=0 являются горизонтальными асимптотами.
    На рисунке асимптота y=0y=0 совпадает с осью OxOx.
  2. 2

    Построение графика

    Между уровнями y=πy=\pi и y=0y=0 строим убывающую
    S-образную кривую через точку
    (0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right).график к задаче Демидовича № 314

Проверка

Ответ. Функция строго убывает на R\mathbb R, принимает значения
из (0,π)(0,\pi) и имеет горизонтальные асимптоты y=0y=0 и y=πy=\pi.
Демидович № 314 — решение и ответ