Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 314

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики обратных круговых функций:

Задача 314

y=arcctg⁡xy=\operatorname{arcctg}x
ПостроениеФункция строго убывает на R\mathbb R, принимает значения
из (0,π)(0,\pi) и имеет горизонтальные асимптоты y=0y=0 и y=πy=\pi.

Построение

Используем принятое в сборнике определение: функция
y=arcctg⁡xy=\operatorname{arcctg}x является обратной к котангенсу на промежутке
(0,π)(0,\pi). Котангенс на нём строго убывает от +∞+\infty до −∞-\infty.
ПоэтомуD=RE=(0,π)D=\mathbb R
\qquad
E=(0,\pi)Для всех действительных xx выполняетсяarcctg⁡x=π2−arctg⁡x\operatorname{arcctg}x
=\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg}xВ частности,arcctg⁡0=π2\operatorname{arcctg}0=\frac{\pi}{2}а такжеarcctg⁡(−x)=π−arcctg⁡x\operatorname{arcctg}(-x)=\pi-\operatorname{arcctg}xПоэтому график обладает центральной симметрией относительно точки
(0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right).

Арктангенс строго возрастает, поэтому π2−arctg⁡x\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg}x строго убывает. Его график получаем отражением графика арктангенса относительно оси OxOx и переносом вверх на π2\frac{\pi}{2}.

Арккотангенс принимает значения в (0,π)(0,\pi). Котангенс на этом промежутке убывает от неограниченно больших положительных значений до отрицательных. Поэтому слева график арккотангенса приближается к уровню π\pi, а справа — к оси OxOx.

Поэтому прямые y=πy=\pi и y=0y=0 являются горизонтальными асимптотами.
На рисунке асимптота y=0y=0 совпадает с осью OxOx.

Построение графика

Между уровнями y=πy=\pi и y=0y=0 строим убывающую
S-образную кривую через точку
(0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right).график к задаче Демидовича № 314
Демидович № 314 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика