Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 330

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 330

Зная графики функций y=f(x)y=f(x) и y=g(x)y=g(x), построить графики функций:а) y=f(x)+g(x)б) y=f(x)g(x)в) y=f(g(x))\text{а) }y=f(x)+g(x)
\qquad
\text{б) }y=f(x)g(x)
\qquad
\text{в) }y=f(g(x))
ПостроениеДля суммы и произведения при каждом допустимом xx
складываются или перемножаются ординаты исходных графиков. Для композиции
сначала находится g(x)g(x), а затем по графику ff считывается значение
f(g(x))f(g(x)).

Построение

В пунктах а) и б) можно использовать только те значения аргумента, при
которых определены обе функции:Df+g=Dfg=Df∩DgD_{f+g}=D_{fg}=D_f\cap D_gДля композиции необходимо дополнительно потребовать, чтобы значение
внутренней функции принадлежало области определения внешней:Df∘g={x∈Dg∣g(x)∈Df}D_{f\circ g}=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}Чтобы все три правила были видны на конкретных рисунках, выберем простую
несимметричную паруf(x)=x+1g(x)=x2f(x)=x+1
\qquad
g(x)=x^2На каждом рисунке пунктиром будут показаны исходные функции, а сплошной
линией — результат соответствующей операции.

Пункт а)

Сложение графиков.
Если при одном и том же аргументе xx известные графики содержат точки
(x,u)(x,u) и (x,v)(x,v), то u=f(x)u=f(x), v=g(x)v=g(x), а график суммы содержит точку(x,u+v)(x,u+v)Таким образом, для каждого допустимого xx алгебраически складываем
ординаты исходных графиков. При одинаковых знаках модуль ординаты
увеличивается, а при разных знаках происходит взаимное вычитание.
Для выбранной моделиf(x)+g(x)=x2+x+1=(x+12)2+34f(x)+g(x)=x^2+x+1=
\left(x+\frac12\right)^2+\frac34Поэтому сумма имеет минимум 34\frac{3}{4} при x=−12x=-\frac{1}{2} и не имеет нулей.

Построение графика

Складываем ординаты пунктирных графиков y=f(x)y=f(x) и
y=g(x)y=g(x) при каждом значении аргумента.график к задаче Демидовича № 330

Пункт б)

Умножение графиков.

По тем же точкам (x,u)(x,u) и (x,v)(x,v) строим точку(x,uv)(x,uv)Нули каждого множителя становятся нулями произведения. Произведение
положительно там, где множители имеют одинаковые знаки, и отрицательно
там, где их знаки различны.
Для выбранной моделиf(x)g(x)=x2(x+1)f(x)g(x)=x^2(x+1)Нули равны x=−1x=-1 и x=0x=0, причём нуль x=0x=0 является двукратным.

Построение графика

Перемножаем ординаты пунктирных графиков. Знак
сплошной кривой определяется знаками двух множителей.график к задаче Демидовича № 330

Пункт в)

Композиция графиков.
Здесь значения считываются последовательно. Сначала по графику gg
находимu=g(x)u=g(x)Затем используем число uu как аргумент функции ff и по её графику
находим f(u)f(u). В результате получаем точку(x,f(u))=(x,f(g(x)))(x,f(u))=(x,f(g(x)))Поэтому композиция, в отличие от суммы и произведения, не строится одним
действием над двумя ординатами с одинаковой абсциссой.
Для выбранной моделиf(g(x))=x2+1f(g(x))=x^2+1Композиция имеет минимум 11 при x=0x=0.

Построение графика

Сначала по оранжевому графику находим g(x)g(x), затем
это значение используем как аргумент розового графика ff.график к задаче Демидовича № 330