Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 330

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 330

Зная графики функций

y=f(x)

y=g(x)

, построить графики функций:

\text{а) }y=f(x)+g(x)\qquad\text{б) }y=f(x)g(x)\qquad\text{в) }y=f(g(x))

ПостроениеДля суммы и произведения при каждом допустимом

x

складываются или перемножаются ординаты исходных графиков. Для композиции
сначала находится

g(x)

, а затем по графику

f

считывается значение

f(g(x))

Построение

Идея

Сначала сформулируем общие правила через точки известных графиков.
В пунктах а) и б) можно использовать только те значения аргумента, при
которых определены обе функции:

D_{f+g}=D_{fg}=D_f\cap D_g

Для композиции необходимо дополнительно потребовать, чтобы значение
внутренней функции принадлежало области определения внешней:

D_{f\circ g}=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}

1
Чтобы все три правила были видны на конкретных рисунках, выберем простую
несимметричную пару $f(x)=x+1\qquadg(x)=x^2$ На каждом рисунке пунктиром будут показаны исходные функции, а сплошной
линией — результат соответствующей операции.
2
Пункт а)
Сложение графиков.
3
Если при одном и том же аргументе $x$ известные графики содержат точки
$(x,u)$ и $(x,v)$ , то $u=f(x)$ , $v=g(x)$ , а график суммы содержит точку $(x,u+v)$ Таким образом, для каждого допустимого $x$ алгебраически складываем
ординаты исходных графиков. При одинаковых знаках модуль ординаты
увеличивается, а при разных знаках происходит взаимное вычитание.
4
Для выбранной модели $f(x)+g(x)=x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34$ Поэтому сумма имеет минимум $3/4$ при $x=-1/2$ и не имеет нулей.
5
Построение графика
Складываем ординаты пунктирных графиков $y=f(x)$ и
$y=g(x)$ при каждом значении аргумента. $график к задаче Демидовича № 330$
6
Пункт б)
Умножение графиков.

По тем же точкам $(x,u)$ и $(x,v)$ строим точку $(x,uv)$ Нули каждого множителя становятся нулями произведения. Произведение
положительно там, где множители имеют одинаковые знаки, и отрицательно
там, где их знаки различны.
7
Для выбранной модели $f(x)g(x)=x^2(x+1)$ Нули равны $x=-1$ и $x=0$ , причём нуль $x=0$ является двукратным.
8
Построение графика
Перемножаем ординаты пунктирных графиков. Знак
сплошной кривой определяется знаками двух множителей. $график к задаче Демидовича № 330$
9
Пункт в)
Композиция графиков.
10
Здесь значения считываются последовательно. Сначала по графику $g$
находим $u=g(x)$ Затем используем число $u$ как аргумент функции $f$ и по её графику
находим $f(u)$ . В результате получаем точку $(x,f(u))=(x,f(g(x)))$ Поэтому композиция, в отличие от суммы и произведения, не строится одним
действием над двумя ординатами с одинаковой абсциссой.
11
Для выбранной модели $f(g(x))=x^2+1$ Композиция имеет минимум $1$ при $x=0$ .
12
Построение графика
Сначала по оранжевому графику находим $g(x)$ , затем
это значение используем как аргумент розового графика $f$ . $график к задаче Демидовича № 330$

Проверка

Ответ. Для суммы и произведения при каждом допустимом

x

складываются или перемножаются ординаты исходных графиков. Для композиции
сначала находится

g(x)

, а затем по графику

f

считывается значение

f(g(x))