Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 297

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики тригонометрических функций:

Задача 297

y=±cos⁡xy=\pm\sqrt{\cos x}
ПостроениеОбласть определения состоит из отрезков
[−π2+2πk,π2+2πk]\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\frac{\pi}{2}+2\pi k\right],
k∈Zk\in\mathbb Z; вся кривая имеет период 2π2\pi и множество значений
[−1,1][-1,1].

Построение

Квадратный корень существует только при cos⁡x⩾0\cos x\geqslant0. Поэтому область
определения обеих функций равнаD=⋃k∈Z[−π2+2πk,π2+2πk]D=\bigcup_{k\in\mathbb Z}
\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\frac{\pi}{2}+2\pi k\right]На промежутках(π2+2πk,3π2+2πk)\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k,\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right)графика нет.

Обе функции имеют период 2π2\pi и являются чётными, поскольку косинус
чётен. Верхняя функция принимает значения из [0,1][0,1], нижняя — из
[−1,0][-1,0]. Для всей кривой, заданной знаком ±\pm, множество значений равно
[−1,1][-1,1].

Объединим обе ветви равенствомy2=cos⁡xy^2=\cos xНа каждом отрезке области определения верхняя и нижняя ветви являются
отражениями друг друга относительно оси OxOx. Они соединяются в точках(−π2+2πk,0)(π2+2πk,0)\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k,0\right)
\qquad
\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k,0\right)В центре отрезка получаем две точки(2πk,1)(2πk,−1)(2\pi k,1)
\qquad
(2\pi k,-1)На каждом указанном отрезке косинус сначала возрастает от 00 до 11, затем убывает до 00. Квадратный корень строго возрастает по неотрицательному аргументу и сохраняет эти направления. Поэтому верхняя ветвь возрастает от 00 до 11 на
(−π2+2πk,2πk)\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k,2\pi k\right) и убывает от 11 до 00 на
(2πk,π2+2πk)\left(2\pi k,\frac{\pi}{2}+2\pi k\right). Нижняя ветвь получается её
отражением относительно оси OxOx.
На концах каждого отрезка значение обеих ветвей равно нулю, поэтому соответствующие точки входят в график и соединяют верхнюю и нижнюю дуги.

Построение графика

На каждом отрезке области определения отмечаем две
граничные точки и точки (2πk,±1)(2\pi k,\pm1). Соединяем их верхней и нижней
дугами. На соседнем промежутке длины π\pi графика нет, после чего замкнутая
часть повторяется с периодом 2π2\pi.график к задаче Демидовича № 297
Демидович № 297 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика