Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 297

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики тригонометрических функций:

Задача 297

y=±cos⁡xy=\pm\sqrt{\cos x}
ПостроениеОбласть определения состоит из отрезков
[−π2+2πk,π2+2πk]\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\frac{\pi}{2}+2\pi k\right],
k∈Zk\in\mathbb Z; вся кривая имеет период 2π2\pi и множество значений
[−1,1][-1,1].

Построение

Идея

Квадратный корень существует только при cos⁡x⩾0\cos x\geqslant0. Поэтому область
определения обеих функций равнаD=⋃k∈Z[−π2+2πk,π2+2πk]D=\bigcup_{k\in\mathbb Z}
\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\frac{\pi}{2}+2\pi k\right]На промежутках(π2+2πk,3π2+2πk)\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k,\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right)графика нет.
  1. 1
    Обе функции имеют период 2π2\pi и являются чётными, поскольку косинус
    чётен. Верхняя функция принимает значения из [0,1][0,1], нижняя — из
    [−1,0][-1,0]. Для всей кривой, заданной знаком ±\pm, множество значений равно
    [−1,1][-1,1].

    Идея. Объединим обе ветви равенствомy2=cos⁡xy^2=\cos xНа каждом отрезке области определения верхняя и нижняя ветви являются
    отражениями друг друга относительно оси OxOx. Они соединяются в точках(−π2+2πk,0)(π2+2πk,0)\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k,0\right)
    \qquad
    \left(\frac{\pi}{2}+2\pi k,0\right)    В центре отрезка получаем две точки(2πk,1)(2πk,−1)(2\pi k,1)
    \qquad
    (2\pi k,-1)    Во внутренних точках отрезка производная верхней функции равна(cos⁡x)′=−sin⁡x2cos⁡x\left(\sqrt{\cos x}\right)'=-\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}Поэтому верхняя ветвь возрастает от 00 до 11 на
    (−π2+2πk,2πk)\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k,2\pi k\right) и убывает от 11 до 00 на
    (2πk,π2+2πk)\left(2\pi k,\frac{\pi}{2}+2\pi k\right). Нижняя ветвь получается её
    отражением относительно оси OxOx.
  2. 2
    При приближении к концам каждого отрезка модуль производной стремится к
    бесконечности. Поэтому в точках соединения верхняя и нижняя ветви имеют
    общие вертикальные касательные.
  3. 3

    Построение графика

    На каждом отрезке области определения отмечаем две
    граничные точки и точки (2πk,±1)(2\pi k,\pm1). Соединяем их верхней и нижней
    дугами. На соседнем промежутке длины π\pi графика нет, после чего замкнутая
    часть повторяется с периодом 2π2\pi.график к задаче Демидовича № 297

Проверка

Ответ. Область определения состоит из отрезков
[−π2+2πk,π2+2πk]\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\frac{\pi}{2}+2\pi k\right],
k∈Zk\in\mathbb Z; вся кривая имеет период 2π2\pi и множество значений
[−1,1][-1,1].
Демидович № 297 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика