Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 304

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

Задача 304

y=\frac{\sin x}{x}

ПостроениеФункция чётна;

x=0

исключён, но график подходит к точке

(0,1)

. Нули:

x=k\pi

k\ne0

. Колебания уменьшаются по мере удаления от нуля; горизонтальная асимптота —

y=0

Построение

Функция определена при

x\ne0

и чётна:

f(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}=f(x).

По геометрической оценке, доказанной в №302, при

0<|x|<\frac{\pi}{2}

выполняется

0\leq1-\frac{\sin x}{x}\leq\frac{x^2}{2}.

Значит, около нуля график подходит к точке

(0,1)

. Эту точку отмечаем выколотой, поскольку исходная дробь в нуле не определена.

Нули равны

x=k\pi

, где

k\in\mathbb Z\setminus\{0\}

. На положительной полуоси знак функции совпадает со знаком синуса: первая дуга на

(0,\pi)

положительна, следующая на

(\pi,2\pi)

отрицательна, затем знаки чередуются.

На любой стороне от нуля имеем

|f(x)|\leq\frac1{|x|}.

Поэтому удалённые колебания находятся между гиперболами

y=\pm\frac{1}{|x|}

и становятся всё меньше. Горизонтальная асимптота —

y=0

Для эскиза вычислим ординаты при простых значениях аргумента:

\begin{array}{c|ccccc}x&\frac{\pi}{2}&\pi&3\frac{\pi}{2}&2\pi&5\frac{\pi}{2}\\\hlinef(x)&\frac{2}{\pi}&0&-\frac{2}{(3\pi)}&0&\frac{2}{(5\pi)}\end{array}

Внутри каждой дуги можно добавить промежуточные точки: для этого достаточно разделить ординаты обычной синусоиды на положительную абсциссу. Отмеченные середины полуволн синуса служат опорными точками; высоты волн новой функции определяются всем произведением

(\frac{1}{x})\sin x

.

Строим правую половину с найденными нулями, опорными точками и уменьшающейся высотой колебаний. Левую половину получаем отражением относительно оси

Oy