Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 304

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

Задача 304

y=sin⁡xxy=\frac{\sin x}{x}
ПостроениеФункция чётная, имеет устранимый разрыв в точке x=0x=0,
горизонтальную асимптоту y=0y=0 и множество значений
[cos⁡α,1)[\cos\alpha,1), где α≈4,493409\alpha\approx4{,}493409 — первый положительный
корень уравнения tg⁡x=x\operatorname{tg}x=x после числа π\pi.

Построение

Идея

Знаменатель не должен обращаться в нуль, поэтомуD=R∖{0}D=\mathbb R\setminus\{0\}В точке x=0x=0 функция не определена, однако из первого замечательного
предела следуетlim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1Значит, точка (0,1)(0,1) является выколотой: разрыв в нуле устраним.
  1. 1
    Функция чётная:f(−x)=sin⁡(−x)−x=sin⁡xx=f(x)f(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{\sin x}{x}=f(x)поэтому достаточно исследовать её при x>0x>0, а затем отразить график
    относительно оси OyOy. Нули функции имеют видx=kπk∈Z∖{0}x=k\pi
    \qquad
    k\in\mathbb Z\setminus\{0\}    При x→±∞x\to\pm\infty имеем∣sin⁡xx∣⩽1∣x∣⟶0\left|\frac{\sin x}{x}\right|\leqslant\frac1{|x|}\longrightarrow0поэтому прямая y=0y=0 является горизонтальной асимптотой.

    Идея. Для уточнения формы волн вычислим производную:y′=xcos⁡x−sin⁡xx2y'=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}При cos⁡x=0\cos x=0 числитель равен −sin⁡x≠0-\sin x\ne0, поэтому такие точки
    не являются критическими и при делении на cos⁡x\cos x корни не теряются.
    Ненулевые критические точки удовлетворяют уравнениюxcos⁡x−sin⁡x=0⟺tg⁡x=xx\cos x-\sin x=0
    \qquad\Longleftrightarrow\qquad
    \operatorname{tg}x=x    На промежутке (0,π)(0,\pi) числитель производной отрицателен. Действительно,
    если g(x)=xcos⁡x−sin⁡xg(x)=x\cos x-\sin x, тоg′(x)=−xsin⁡x<0g'(x)=-x\sin x<0а g(0)=0g(0)=0. Следовательно, на (0,π)(0,\pi) функция убывает от предельного
    значения 11 до 00.

    На всей первой отрицательной волне (π,2π)(\pi,2\pi) функция gg строго
    возрастает, посколькуg′(x)=−xsin⁡x>0g'(x)=-x\sin x>0При этомg(π)=−π<0g(3π2)=1>0g(\pi)=-\pi<0
    \qquad
    g\left(\frac{3\pi}{2}\right)=1>0    Поэтому на (π,2π)(\pi,2\pi) существует ровно один корень α\alpha уравнения
    tg⁡x=x\operatorname{tg}x=x, причём
    α∈(π,3π2)\alpha\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right). Численноα≈4,493409sin⁡αα=cos⁡α≈−0,217234\alpha\approx4{,}493409
    \qquad
    \frac{\sin\alpha}{\alpha}=\cos\alpha\approx-0{,}217234    Это минимум первой отрицательной волны. На всех следующих отрицательных
    волнах при x⩾3πx\geqslant3\pi выполняется∣sin⁡xx∣⩽13π<0,107\left|\frac{\sin x}{x}\right|\leqslant\frac1{3\pi}<0{,}107поэтому найденный минимум является наименьшим значением всей функции.
    Значение 11 не достигается, так как ∣sin⁡x∣<∣x∣|\sin x|<|x| при x≠0x\ne0.
    Следовательно, множество значений равноE=[cos⁡α,1)E=[\cos\alpha,1)
  2. 2

    Построение графика

    Отмечаем выколотую точку (0,1)(0,1), нули x=kπx=k\pi и
    первые точки экстремума. Между ними проводим затухающие волны. Справа и
    слева график приближается к оси OxOx, не пересекая её вне найденных нулей.график к задаче Демидовича № 304

Проверка

Ответ. Функция чётная, имеет устранимый разрыв в точке x=0x=0,
горизонтальную асимптоту y=0y=0 и множество значений
[cos⁡α,1)[\cos\alpha,1), где α≈4,493409\alpha\approx4{,}493409 — первый положительный
корень уравнения tg⁡x=x\operatorname{tg}x=x после числа π\pi.
Демидович № 304 — решение и ответ