Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 331

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило сложения графиков, построить график функции

y=1+x+e^x

ПостроениеФункция строго возрастает на

\mathbb R

, имеет единственный
нуль

x_0\approx-1{,}278465

и множество значений

\mathbb R

Построение

Идея

Рассматриваем функцию как сумму прямой

y=x+1

и показательной функции

y=e^x

. Область определения равна

\mathbb R

. Производная имеет вид

y'=1+e^x>0

поэтому функция строго возрастает на всей числовой прямой. Кроме того,

y''=e^x>0

следовательно, график выпуклый вниз в принятой в школьном курсе
терминологии, то есть его касательные располагаются ниже графика.

1
При $x\to-\infty$ линейное слагаемое стремится к $-\infty$ , а
$e^x\to0$ . При $x\to+\infty$ показательное слагаемое стремится к
$+\infty$ . Поэтому множество значений равно $\mathbb R$ . Строгая
монотонность показывает, что нуль единственный. Проверим его положение: $y(-1{,}3)=-0{,}3+e^{-1{,}3}<0$ $y(-1{,}2)=-0{,}2+e^{-1{,}2}>0$ По теореме о промежуточных значениях корень лежит между $-1{,}3$ и
$-1{,}2$ . Численным методом получаем $x_0\approx-1{,}278465$ Точка пересечения с осью $Oy$ равна $(0,2)$ .
2
Так как $y-(x+1)=e^x\longrightarrow0\qquadx\to-\infty$ прямая $y=x+1$ является левой линейной асимптотой.
3
Построение графика
Для каждого $x$ складываем ординаты прямой
$y=x+1$ и экспоненты $y=e^x$ . Исходные слагаемые показаны пунктиром. $график к задаче Демидовича № 331$

Проверка

Ответ. Функция строго возрастает на

\mathbb R

, имеет единственный
нуль

x_0\approx-1{,}278465

и множество значений

\mathbb R