Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 331

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило сложения графиков, построить график функции

Задача 331

y=1+x+exy=1+x+e^x
ПостроениеГрафик строго возрастает, проходит через (0,2)(0,2) и приближается слева к прямой y=x+1y=x+1.

Построение

Строим сумму f(x)=(x+1)+exf(x)=(x+1)+e^x: при каждом xx к ординате прямой y=x+1y=x+1 прибавляем положительную ординату экспоненты.
Оба слагаемых строго возрастают. Если x1<x2x_1<x_2, то
f(x2)−f(x1)=(x2−x1)+(ex2−ex1)>0.f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)+(e^{x_2}-e^{x_1})>0.Поэтому и сумма строго возрастает. Для построения выберем простые аргументы и подставим их в формулу:x−2−101f(x)−1+e−2e−122+e\begin{array}{c|rrrr}
x&-2&-1&0&1\\\hline
f(x)&-1+e^{-2}&e^{-1}&2&2+e
\end{array}Здесь f(−2)<0f(-2)<0, поскольку 0<e−2<10<e^{-2}<1, а f(−1)>0f(-1)>0. Таким образом, две соседние опорные точки расположены по разные стороны от оси OxOx; точка на оси OyOy равна (0,2)(0,2).
При движении влево расстояние по вертикали до прямой y=x+1y=x+1 равно exe^x и становится сколь угодно малым. Значит, эта прямая — левая наклонная асимптота. При движении вправо кривая поднимается над прямой всё выше.
На рисунке пунктиром показаны слагаемые, сплошной линией — их сумма.график к задаче Демидовича № 331
Демидович № 331 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика