Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 306

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

Задача 306

y=±2−xsin⁡πxy=\pm2^{-x}\sqrt{\sin\pi x}
ПостроениеОбласть определения равна
⋃k∈Z[2k,2k+1]\bigcup_{k\in\mathbb Z}[2k,2k+1]; соседние справа дуги уменьшаются
в четыре раза, а верхняя и нижняя ветви симметричны относительно OxOx.

Построение

Идея

Квадратный корень существует тогда и только тогда, когдаsin⁡πx⩾0\sin\pi x\geqslant0На каждом периоде синуса это неравенство выполняется на отрезке
[2k,2k+1][2k,2k+1]. Поэтому область определения равнаD=⋃k∈Z[2k,2k+1]D=\bigcup_{k\in\mathbb Z}[2k,2k+1]На промежутках (2k−1,2k)(2k-1,2k) графика нет. Верхняя и нижняя ветви являются
отражениями друг друга относительно оси OxOx и соединяются в точках(n,0)n∈Z(n,0)
\qquad
n\in\mathbb Zкоторые принадлежат указанным отрезкам.
  1. 1
    Множитель 2−x2^{-x} нарушает периодичность. При сдвиге на 22 получаем2−(x+2)sin⁡π(x+2)=14 2−xsin⁡πx2^{-(x+2)}\sqrt{\sin\pi(x+2)}
    =\frac14\,2^{-x}\sqrt{\sin\pi x}    Значит, каждая следующая пара дуг справа в четыре раза ниже предыдущей.
    При x→+∞x\to+\infty все дуги приближаются к оси OxOx, а при
    x→−∞x\to-\infty их высота неограниченно возрастает.

    Идея. На внутренности отрезка [2k,2k+1][2k,2k+1] рассмотрим положительную
    ветвьh(x)=2−xsin⁡πxh(x)=2^{-x}\sqrt{\sin\pi x}Её логарифмическая производная равнаh′(x)h(x)=−ln⁡2+π2ctg⁡πx\frac{h'(x)}{h(x)}
    =-\ln2+\frac{\pi}{2}\operatorname{ctg}\pi x    Поэтому единственная точка максимума имеет видx=2k+δx=2k+\deltaгдеδ=1πarctg⁡π2ln⁡2≈0,367720\delta=\frac1\pi\operatorname{arctg}\frac{\pi}{2\ln2}
    \approx0{,}367720    Высота положительной дуги равна4−kC4^{-k}CгдеC=2−δsin⁡πδ≈0,741291C=2^{-\delta}\sqrt{\sin\pi\delta}
    \approx0{,}741291    Нижняя дуга имеет в той же точке минимальное значение −4−kC-4^{-k}C.
  2. 2

    Построение графика

    На каждом отрезке [2k,2k+1][2k,2k+1] строим две
    симметричные дуги с общей парой концов. При переходе к следующему
    отрезку справа уменьшаем их вертикальный размер в четыре раза.график к задаче Демидовича № 306

Проверка

Ответ. Область определения равна
⋃k∈Z[2k,2k+1]\bigcup_{k\in\mathbb Z}[2k,2k+1]; соседние справа дуги уменьшаются
в четыре раза, а верхняя и нижняя ветви симметричны относительно OxOx.
Демидович № 306 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика