Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 306

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

Задача 306

y=±2−xsin⁡πxy=\pm2^{-x}\sqrt{\sin\pi x}
ПостроениеОбласть определения равна
⋃k∈Z[2k,2k+1]\bigcup_{k\in\mathbb Z}[2k,2k+1]; соседние справа дуги уменьшаются
в четыре раза, а верхняя и нижняя ветви симметричны относительно OxOx.

Построение

Квадратный корень существует тогда и только тогда, когдаsin⁡πx⩾0\sin\pi x\geqslant0На каждом периоде синуса это неравенство выполняется на отрезке
[2k,2k+1][2k,2k+1]. Поэтому область определения равнаD=⋃k∈Z[2k,2k+1]D=\bigcup_{k\in\mathbb Z}[2k,2k+1]На промежутках (2k−1,2k)(2k-1,2k) графика нет. Верхняя и нижняя ветви являются
отражениями друг друга относительно оси OxOx и соединяются в точках(n,0)n∈Z(n,0)
\qquad
n\in\mathbb Zкоторые принадлежат указанным отрезкам.

Множитель 2−x2^{-x} нарушает периодичность. При сдвиге на 22 получаем2−(x+2)sin⁡π(x+2)=14 2−xsin⁡πx2^{-(x+2)}\sqrt{\sin\pi(x+2)}
=\frac14\,2^{-x}\sqrt{\sin\pi x}Значит, каждая следующая пара дуг справа в четыре раза ниже предыдущей.
При x→+∞x\to+\infty все дуги приближаются к оси OxOx, а при
x→−∞x\to-\infty их высота неограниченно возрастает.

Построим верхнюю дугу на [0,1][0,1], а затем используем отражение и найденное изменение масштаба. Значения в удобных точках равныx014123412−xsin⁡πx01212120\begin{array}{c|ccccc}
x&0&\frac{1}{4}&\frac{1}{2}&\frac{3}{4}&1\\\hline
2^{-x}\sqrt{\sin\pi x}&0&\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{2}&0
\end{array}Например, при x=14x=\frac{1}{4} квадратный корень равен 22=2−14\sqrt{\frac{\sqrt2}{2}}=2^{-\frac{1}{4}}, поэтому произведение равно 2−12=122^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt2}. При x=34x=\frac{3}{4} получается 2−342−14=122^{-\frac{3}{4}}2^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}.

Дуга положительна внутри отрезка и расположена ниже кривой y=2−xy=2^{-x}, поскольку 0≤sin⁡πx≤10\leq\sqrt{\sin\pi x}\leq1. Соединяем рассчитанные точки в соответствии с произведением двух элементарных функций, отражаем дугу относительно OxOx, затем переносим и изменяем масштаб остальных пар дуг по равенству h(x+2)=h(x)4h(x+2)=\frac{h(x)}{4}.

Построение графика

На каждом отрезке [2k,2k+1][2k,2k+1] строим две
симметричные дуги с общей парой концов. При переходе к следующему
отрезку справа уменьшаем их вертикальный размер в четыре раза.график к задаче Демидовича № 306