Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 295

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики тригонометрических функций:

Задача 295

y=ctg⁡2xy=\operatorname{ctg}^2x
ПостроениеФункция чётная, имеет период π\pi, вертикальные асимптоты
x=kπx=k\pi и множество значений [0,+∞)[0,+\infty).

Построение

Идея

Запишем функцию в видеy=cos⁡2xsin⁡2xy=\frac{\cos^2x}{\sin^2x}Знаменатель не должен обращаться в нуль, поэтому область определения равнаD=R∖{kπ∣k∈Z}D=\mathbb R\setminus\{k\pi\mid k\in\mathbb Z\}Функция неотрицательна. Она обращается в нуль тогда и только тогда, когда
cos⁡x=0\cos x=0:x=π2+kπk∈Zx=\frac{\pi}{2}+k\pi\qquad k\in\mathbb Z
  1. 1
    Поскольку ctg⁡(−x)=−ctg⁡x\operatorname{ctg}(-x)=-\operatorname{ctg}x, функция
    ctg⁡2x\operatorname{ctg}^2x чётная. Кроме того,ctg⁡2(x+π)=ctg⁡2x\operatorname{ctg}^2(x+\pi)=\operatorname{ctg}^2xпоэтому π\pi является периодом функции. Покажем, что это наименьший
    положительный период. Если T>0T>0 — период, то из равенства
    f(π2)=0f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 следует
    f(π2+T)=0f\left(\frac{\pi}{2}+T\right)=0. Все нули функции имеют вид
    π2+kπ\frac{\pi}{2}+k\pi, поэтому T=kπT=k\pi. Наименьшее возможное
    положительное значение равно π\pi.
  2. 2
    При приближении к каждой исключённой точке с любой стороны имеемctg⁡2x⟶+∞x→kπ±0\operatorname{ctg}^2x\longrightarrow+\infty
    \qquad x\to k\pi\pm0    Значит, прямые x=kπx=k\pi являются вертикальными асимптотами.

    Идея. На области определения производная равнаy′=−2ctg⁡x(1+ctg⁡2x)y'=-2\operatorname{ctg}x\bigl(1+\operatorname{ctg}^2x\bigr)Второй множитель положителен. На промежутке
    (kπ,kπ+π2)\left(k\pi,k\pi+\frac{\pi}{2}\right) котангенс положителен, поэтому
    функция убывает от +∞+\infty до 00. На промежутке
    (kπ+π2,(k+1)π)\left(k\pi+\frac{\pi}{2},(k+1)\pi\right) котангенс отрицателен,
    поэтому функция возрастает от 00 до +∞+\infty. В точках
    x=π2+kπx=\frac{\pi}{2}+k\pi достигаются минимумы, равные нулю.

    На промежутке
    (kπ,kπ+π2]\left(k\pi,k\pi+\frac{\pi}{2}\right] функция непрерывна и убывает от
    +∞+\infty до 00. Следовательно, она принимает каждое неотрицательное
    значение, и её множество значений равно [0,+∞)[0,+\infty).
  3. 3

    Построение графика

    Проводим вертикальные асимптоты x=kπx=k\pi. Между
    двумя соседними асимптотами строим U-образную ветвь с вершиной на оси
    OxOx, затем повторяем её с периодом π\pi.график к задаче Демидовича № 295

Проверка

Ответ. Функция чётная, имеет период π\pi, вертикальные асимптоты
x=kπx=k\pi и множество значений [0,+∞)[0,+\infty).
Демидович № 295 — решение и ответ