Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 295

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики тригонометрических функций:

Задача 295

y=ctg⁡2xy=\operatorname{ctg}^2x
ПостроениеФункция чётная, имеет период π\pi, вертикальные асимптоты
x=kπx=k\pi и множество значений [0,+∞)[0,+\infty).

Построение

Запишем функцию в видеy=cos⁡2xsin⁡2xy=\frac{\cos^2x}{\sin^2x}Знаменатель не должен обращаться в нуль, поэтому область определения равнаD=R∖{kπ∣k∈Z}D=\mathbb R\setminus\{k\pi\mid k\in\mathbb Z\}Функция неотрицательна. Она обращается в нуль тогда и только тогда, когда
cos⁡x=0\cos x=0:x=π2+kπk∈Zx=\frac{\pi}{2}+k\pi\qquad k\in\mathbb ZПоскольку ctg⁡(−x)=−ctg⁡x\operatorname{ctg}(-x)=-\operatorname{ctg}x, функция
ctg⁡2x\operatorname{ctg}^2x чётная. Кроме того,ctg⁡2(x+π)=ctg⁡2x\operatorname{ctg}^2(x+\pi)=\operatorname{ctg}^2xпоэтому π\pi является периодом функции. Покажем, что это наименьший
положительный период. Если T>0T>0 — период, то из равенства
f(π2)=0f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 следует
f(π2+T)=0f\left(\frac{\pi}{2}+T\right)=0. Все нули функции имеют вид
π2+kπ\frac{\pi}{2}+k\pi, поэтому T=kπT=k\pi. Наименьшее возможное
положительное значение равно π\pi.
При приближении к каждой исключённой точке с любой стороны имеемctg⁡2x⟶+∞x→kπ±0\operatorname{ctg}^2x\longrightarrow+\infty
\qquad x\to k\pi\pm0Значит, прямые x=kπx=k\pi являются вертикальными асимптотами.

На (0,π2](0,\frac{\pi}{2}] котангенс положителен и убывает до нуля, поэтому его квадрат убывает. На [π2,π)[\frac{\pi}{2},\pi) котангенс отрицателен и продолжает убывать, а его модуль и квадрат возрастают. Периодичность повторяет эти направления на каждом (kπ,(k+1)π)(k\pi,(k+1)\pi). Минимальное значение равно нулю и достигается при x=π2+kπx=\frac{\pi}{2}+k\pi.

Любое y≥0y\geq0 достигается: выбираем x∈(0,π2]x\in(0,\frac{\pi}{2}] с ctg⁡x=y\operatorname{ctg}x=\sqrt y. Такой угол существует по определению обратной тригонометрической функции. Тогда ctg⁡2x=y\operatorname{ctg}^2x=y, поэтому множество значений равно [0,+∞)[0,+\infty).

Построение графика

Проводим вертикальные асимптоты x=kπx=k\pi. Между
двумя соседними асимптотами строим U-образную ветвь с вершиной на оси
OxOx, затем повторяем её с периодом π\pi.график к задаче Демидовича № 295