Демидович № 328 — решение | Высшая математика

Пусть область определения исходной функции равна

D_f

. Если точка

(u,v)

принадлежит графику

y=f(x)

, то

v=f(u)

. Во всех подпунктах,
кроме ж), абсцисса точки сохраняется, а преобразуется только её ордината.
Поэтому правила построения ниже применимы к любому известному графику

y=f(x)

.

Так как конкретный исходный график в условии не задан, после вывода каждого
общего правила проиллюстрируем его на несимметричной аналитической модели

f(x)=e^{x}-2

Эта функция выбрана потому, что её график имеет как отрицательные, так и
положительные значения и пересекает ось

Ox

. Поэтому на одной модели можно
показать все случаи преобразования ординат. Кроме того, единственный нуль и
строгая монотонность делают изменения графика хорошо различимыми.

На всех рисунках пунктиром показан вспомогательный исходный график

y=f(x)

, а сплошной синей линией — результат преобразования.

Для неё

D_f=\mathbb R\qquadE_f=(-2,+\infty)

Функция строго возрастает, имеет нуль

x=\ln2

и горизонтальную асимптоту

y=-2

.

Пункт а)

Функция

y=|f(x)|

.

Для неотрицательных ординат модуль ничего не меняет, а отрицательные
ординаты меняют знак:

|f(x)|=\begin{cases}f(x),&f(x)\geqslant0\\[1mm]-f(x),&f(x)<0\end{cases}

Следовательно, часть исходного графика, лежащая на оси

Ox

или выше неё,
остаётся на месте, а часть ниже оси

Ox

отражается относительно этой оси.
Область определения не меняется, а все значения новой функции
неотрицательны.

Иными словами, каждая точка

(u,v)

с

v<0

переходит в точку

(u,-v)

,
а точки с

v\geqslant0

сохраняются.

Для выбранной модели

|e^{x}-2|=\begin{cases}2-e^{x},&x\leqslant\ln2\\[1mm]e^{x}-2,&x\geqslant\ln2\end{cases}

Поэтому

D=\mathbb R

,

E=[0,+\infty)

, а точка

(\ln2,0)

является
точкой минимума и угловой точкой графика.

Пункт б)

Функция

y=\dfrac12\bigl(|f(x)|+f(x)\bigr)

.

Разберём два возможных знака

f(x)

:

\frac12\bigl(|f(x)|+f(x)\bigr)=\begin{cases}f(x),&f(x)\geqslant0\\[1mm]0,&f(x)<0\end{cases}

Таким образом, часть исходного графика выше оси

Ox

сохраняется. Для всех

x

, при которых

f(x)<0

, значение новой функции равно нулю, поэтому её
график на этих значениях

x

совпадает с соответствующим участком оси

Ox

.
Нули исходной функции остаются нулями.

Для модели

f(x)=e^{x}-2

получаем

y=\begin{cases}0,&x\leqslant\ln2\\[1mm]e^{x}-2,&x\geqslant\ln2\end{cases}

Здесь

D=\mathbb R

и

E=[0,+\infty)

.

Построение графика

В пункте а) отражаем отрицательную часть исходного
графика относительно оси

Ox

. В пункте б) заменяем её участком оси

Ox

.

Пункт а)

y=|f(x)|

Пункт б)

y=\dfrac12\bigl(|f(x)|+f(x)\bigr)

Пункт в)

Функция

y=\dfrac12\bigl(|f(x)|-f(x)\bigr)

.

Снова рассматриваем два случая:

\frac12\bigl(|f(x)|-f(x)\bigr)=\begin{cases}0,&f(x)\geqslant0\\[1mm]-f(x),&f(x)<0\end{cases}

Часть исходного графика ниже оси

Ox

отражаем относительно этой оси, а
часть выше оси заменяем участком оси

Ox

.

В отличие от пункта б), здесь после отражения вверх сохраняется только
отрицательная часть исходной функции, а положительная часть переходит на
ось

Ox

.

Для иллюстративной модели

y=\begin{cases}2-e^{x},&x\leqslant\ln2\\[1mm]0,&x\geqslant\ln2\end{cases}

Поэтому

D=\mathbb R

и

E=[0,2)

. Значение

2

не достигается, поскольку

e^{x}>0

при каждом конечном

x

.

Пункт г)

Функция

y=f^2(x)

.

Каждая точка

(u,v)

исходного графика переходит в точку

(u,v^2)

.
Поэтому все ординаты становятся неотрицательными, нули сохраняются, а
точки с ординатами

v

и

-v

переходят на один уровень

v^2

. Это не
обычное растяжение по вертикали: коэффициент изменения зависит от самой
ординаты.

Поэтому по графику

y=f^2(x)

нельзя однозначно восстановить исходный
график: ординаты

v

и

-v

дают одно и то же значение

v^2

.

Для модели

y=(e^{x}-2)^2

имеем

D=\mathbb R

и

E=[0,+\infty)

. Функция убывает до точки минимума

(\ln2,0)

и затем возрастает. При

x\to-\infty

получаем

(e^{x}-2)^2\longrightarrow4

поэтому слева график приближается к горизонтальной асимптоте

y=4

.

Построение графика

В пункте в) отражаем отрицательную часть исходного
графика и продолжаем результат по оси

Ox

. В пункте г) возводим каждую
ординату исходного графика в квадрат.

Пункт в)

y=\dfrac12\bigl(|f(x)|-f(x)\bigr)

Пункт г)

y=f^2(x)

Пункт д)

Функция

y=\sqrt{f(x)}

.

Квадратный корень определён только для неотрицательного аргумента.
Поэтому

D=\{x\in D_f\mid f(x)\geqslant0\}

Для каждой сохранившейся точки

(u,v)

, где

v\geqslant0

, строим точку

(u,\sqrt v)

. Отрицательная часть исходного графика при этом не
участвует в построении.

В выбранной модели условие

e^{x}-2\geqslant0

равносильно

x\geqslant\ln2

. Следовательно,

D=[\ln2,+\infty)\qquadE=[0,+\infty)

График начинается в точке

(\ln2,0)

. Показательная функция и квадратный корень возрастают, поэтому новая кривая также строго возрастает.

Пункт е)

Функция

y=\ln f(x)

.

Логарифм определён только при строго положительном аргументе:

D=\{x\in D_f\mid f(x)>0\}

Точки исходного графика с

v\leqslant0

отбрасываем, а каждую оставшуюся
точку

(u,v)

преобразуем в

(u,\ln v)

. При

0<v<1

новая ордината
отрицательна, при

v=1

равна нулю, а при

v>1

положительна.

Для модели получаем

D=(\ln2,+\infty)\qquadE=\mathbb R

Функция

y=\ln(e^{x}-2)

строго возрастает.

При приближении к

\ln2

справа выражение

e^x-2

положительно и становится сколь угодно малым, поэтому его логарифм неограниченно убывает.

Поэтому прямая

x=\ln2

является вертикальной асимптотой. Нуль находится
из равенства

e^{x}-2=1\quad\Longleftrightarrow\quadx=\ln3

Построение графика

В пункте д) оставляем только неотрицательные ординаты
исходного графика и заменяем

v

на

\sqrt v

. В пункте е) оставляем
только положительные ординаты и заменяем

v

на

\ln v

.

Пункт д)

y=\sqrt{f(x)}

Пункт е)

y=\ln f(x)

Пункт ж)

Функция

y=f(f(x))

.

Композиция строится в два шага. Для выбранного

x

сначала по исходному
графику находим внутреннее значение

u=f(x)

Затем используем это число как новый аргумент и по тому же исходному
графику находим

f(u)

. Поэтому область определения композиции равна

D=\{x\in D_f\mid f(x)\in D_f\}

Чтобы преобразовать ординату

f(x)

в

f(f(x))

, нужно ещё раз обратиться к исходному графику.

Конкретно: если исходный график содержит точку

(x,a)

, то сначала
считываем

a=f(x)

. Затем на том же графике находим значение

f(a)

и
получаем точку композиции

(x,f(a))

.

Для модели, определённой на всей числовой прямой,

f(f(x))=e^{e^{x}-2}-2

и

D=\mathbb R

. Функция строго возрастает. Поскольку

e^{x}-2\to-2

при

x\to-\infty

, получаем

f(f(x))\longrightarrow e^{-2}-2

Прямая

y=e^{-2}-2

является горизонтальной асимптотой, а множество
значений равно

(e^{-2}-2,+\infty)

. Нуль находится из равенств

\begin{aligned}e^{e^{x}-2}-2&=0\\e^{x}-2&=\ln2\\x&=\ln(2+\ln2)\end{aligned}

Пункт з)

Функция

y=\operatorname{sgn}f(x)

.

Значение новой функции определяется только знаком ординаты исходного
графика:

\operatorname{sgn}f(x)=\begin{cases}-1,&f(x)<0\\[1mm]0,&f(x)=0\\[1mm]1,&f(x)>0\end{cases}

Следовательно, промежутки отрицательности переносятся на уровень

y=-1

,
нули — на уровень

y=0

, а промежутки положительности — на уровень

y=1

.

Для модели

\operatorname{sgn}(e^{x}-2)=\begin{cases}-1,&x<\ln2\\[1mm]0,&x=\ln2\\[1mm]1,&x>\ln2\end{cases}

Область определения равна

\mathbb R

, а множество значений равно

\{-1,0,1\}

.

Построение графика

В пункте ж) дважды считываем значения по исходному
графику. В пункте з) заменяем участки отрицательности и положительности
горизонтальными участками на уровнях

-1

и

1

, а нуль отмечаем отдельно.

Пункт ж)

y=f(f(x))

Пункт з)

y=\operatorname{sgn}f(x)

Пункт и)

Функция

y=[f(x)]

.

Обозначение

[t]

означает целую часть числа

t

, то есть наибольшее
целое число, не превосходящее

t

. Поэтому для каждого

n\in\mathbb Z

[f(x)]=n\quad\Longleftrightarrow\quadn\leqslant f(x)<n+1

Чтобы построить график, проводим на исходном рисунке горизонтальные уровни

y=n

. На тех множествах аргументов, где исходный график находится между
уровнями

n

и

n+1

, новая функция равна постоянному числу

n

.

Для возрастающей модели

f(x)=e^{x}-2

получаем

[e^{x}-2]=\begin{cases}-2,&x<0\\[1mm]n,&\ln(n+2)\leqslant x<\ln(n+3),\quad n=-1,0,1,\ldots\end{cases}

Следовательно, область определения равна

\mathbb R

, а множество значений
равно

E=\{-2,-1,0,1,2,\ldots\}

Каждая ступень включает левый конец и не включает правый.

Построение графика

На каждом промежутке

\ln(n+2)\leqslant x<\ln(n+3)

проводим горизонтальную ступень уровня

y=n

. Левые концы отмечаем закрашенными точками, правые — выколотыми.

Пункт и)

y=[f(x)]

На общем рисунке ширина ступеней уменьшается с ростом

x

. Поэтому
отдельно увеличим три соседние ступени, соответствующие значениям

n=0,1,2

.

Увеличение для

n=0,1,2

Ответ

Для произвольного известного графика

y=f(x)

правила
построения определяются преобразованиями его ординат, описанными в
подпунктах а)–е), з), и), и двойным считыванием значений в подпункте ж).
Все девять преобразований проиллюстрированы на несимметричной модели

f(x)=e^{x}-2

. Таким образом, для построения каждого нового графика
достаточно выполнить указанное преобразование ординаты каждой точки
исходного графика; для композиции значение функции последовательно
считывается дважды.

Демидович — задача 328

Задача 328

Пункт а)

Пункт б)

Построение графика

Пункт а)

Пункт б)

Пункт в)

Пункт г)

Построение графика

Пункт в)

Пункт г)

Пункт д)

Пункт е)

Построение графика

Пункт д)

Пункт е)

Пункт ж)

Пункт з)

Построение графика

Пункт ж)

Пункт з)

Пункт и)

Построение графика

Пункт и)

Ответ