Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 328

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 328

Зная график функции

y=f(x)

, построить графики функций:

\text{а) }y=|f(x)|\qquad\text{б) }y=\frac12\bigl(|f(x)|+f(x)\bigr)\qquad\text{в) }y=\frac12\bigl(|f(x)|-f(x)\bigr)

\text{г) }y=f^2(x)\qquad\text{д) }y=\sqrt{f(x)}\qquad\text{е) }y=\ln f(x)

\text{ж) }y=f(f(x))\qquad\text{з) }y=\operatorname{sgn}f(x)\qquad\text{и) }y=[f(x)]

ПостроениеДля произвольного известного графика

y=f(x)

правила
построения определяются преобразованиями его ординат, описанными в
подпунктах а)–е), з), и), и двойным считыванием значений в подпункте ж).
Все девять преобразований проиллюстрированы на несимметричной модели

f(x)=e^{x}-2

. Таким образом, для построения каждого нового графика
достаточно выполнить указанное преобразование ординаты каждой точки
исходного графика; для композиции значение функции последовательно
считывается дважды.

Построение

Идея

Пусть область определения исходной функции равна

D_f

. Если точка

(u,v)

принадлежит графику

y=f(x)

, то

v=f(u)

. Во всех подпунктах,
кроме ж), абсцисса точки сохраняется, а преобразуется только её ордината.
Поэтому правила построения ниже применимы к любому известному графику

y=f(x)

1
Так как конкретный исходный график в условии не задан, после вывода каждого
общего правила проиллюстрируем его на несимметричной аналитической модели $f(x)=e^{x}-2$ Эта функция выбрана потому, что её график имеет как отрицательные, так и
положительные значения и пересекает ось $Ox$ . Поэтому на одной модели можно
показать все случаи преобразования ординат. Кроме того, единственный нуль и
строгая монотонность делают изменения графика хорошо различимыми.

На всех рисунках пунктиром показан вспомогательный исходный график
$y=f(x)$ , а сплошной синей линией — результат преобразования.
2
Для неё $D_f=\mathbb R\qquadE_f=(-2,+\infty)$ Функция строго возрастает, имеет нуль $x=\ln2$ и горизонтальную асимптоту
$y=-2$ .
3
Пункт а)
Функция $y=|f(x)|$ .
4
Для неотрицательных ординат модуль ничего не меняет, а отрицательные
ординаты меняют знак: $|f(x)|=\begin{cases}f(x),&f(x)\geqslant0\\[1mm]-f(x),&f(x)<0\end{cases}$ Следовательно, часть исходного графика, лежащая на оси $Ox$ или выше неё,
остаётся на месте, а часть ниже оси $Ox$ отражается относительно этой оси.
Область определения не меняется, а все значения новой функции
неотрицательны.

Иными словами, каждая точка $(u,v)$ с $v<0$ переходит в точку $(u,-v)$ ,
а точки с $v\geqslant0$ сохраняются.
5
Для выбранной модели $|e^{x}-2|=\begin{cases}2-e^{x},&x\leqslant\ln2\\[1mm]e^{x}-2,&x\geqslant\ln2\end{cases}$ Поэтому $D=\mathbb R$ , $E=[0,+\infty)$ , а точка $(\ln2,0)$ является
точкой минимума и угловой точкой графика.
6
Пункт б)
Функция
$y=\dfrac12\bigl(|f(x)|+f(x)\bigr)$ .

Разберём два возможных знака $f(x)$ : $\frac12\bigl(|f(x)|+f(x)\bigr)=\begin{cases}f(x),&f(x)\geqslant0\\[1mm]0,&f(x)<0\end{cases}$ Таким образом, часть исходного графика выше оси $Ox$ сохраняется. Для всех
$x$ , при которых $f(x)<0$ , значение новой функции равно нулю, поэтому её
график на этих значениях $x$ совпадает с соответствующим участком оси $Ox$ .
Нули исходной функции остаются нулями.
7
Для модели $f(x)=e^{x}-2$ получаем $y=\begin{cases}0,&x\leqslant\ln2\\[1mm]e^{x}-2,&x\geqslant\ln2\end{cases}$ Здесь $D=\mathbb R$ и $E=[0,+\infty)$ .
8
Построение графика
В пункте а) отражаем отрицательную часть исходного
графика относительно оси $Ox$ . В пункте б) заменяем её участком оси $Ox$ .
9
Пункт а)
$y=|f(x)|$ $график к задаче Демидовича № 328$
10
Пункт б)
$y=\dfrac12\bigl(|f(x)|+f(x)\bigr)$ $график к задаче Демидовича № 328$
11
Пункт в)
Функция
$y=\dfrac12\bigl(|f(x)|-f(x)\bigr)$ .

Снова рассматриваем два случая: $\frac12\bigl(|f(x)|-f(x)\bigr)=\begin{cases}0,&f(x)\geqslant0\\[1mm]-f(x),&f(x)<0\end{cases}$ Часть исходного графика ниже оси $Ox$ отражаем относительно этой оси, а
часть выше оси заменяем участком оси $Ox$ .

В отличие от пункта б), здесь после отражения вверх сохраняется только
отрицательная часть исходной функции, а положительная часть переходит на
ось $Ox$ .
12
Для иллюстративной модели $y=\begin{cases}2-e^{x},&x\leqslant\ln2\\[1mm]0,&x\geqslant\ln2\end{cases}$ Поэтому $D=\mathbb R$ и $E=[0,2)$ . Значение $2$ не достигается, поскольку
$e^{x}>0$ при каждом конечном $x$ .
13
Пункт г)
Функция $y=f^2(x)$ .

Каждая точка $(u,v)$ исходного графика переходит в точку $(u,v^2)$ .
Поэтому все ординаты становятся неотрицательными, нули сохраняются, а
точки с ординатами $v$ и $-v$ переходят на один уровень $v^2$ . Это не
обычное растяжение по вертикали: коэффициент изменения зависит от самой
ординаты.

Поэтому по графику $y=f^2(x)$ нельзя однозначно восстановить исходный
график: ординаты $v$ и $-v$ дают одно и то же значение $v^2$ .
14
Для модели $y=(e^{x}-2)^2$ имеем $D=\mathbb R$ и $E=[0,+\infty)$ . Функция убывает до точки минимума
$(\ln2,0)$ и затем возрастает. При $x\to-\infty$ получаем $(e^{x}-2)^2\longrightarrow4$ поэтому слева график приближается к горизонтальной асимптоте $y=4$ .
15
Построение графика
В пункте в) отражаем отрицательную часть исходного
графика и продолжаем результат по оси $Ox$ . В пункте г) возводим каждую
ординату исходного графика в квадрат.
16
Пункт в)
$y=\dfrac12\bigl(|f(x)|-f(x)\bigr)$ $график к задаче Демидовича № 328$
17
Пункт г)
$y=f^2(x)$ $график к задаче Демидовича № 328$
18
Пункт д)
Функция $y=\sqrt{f(x)}$ .

Квадратный корень определён только для неотрицательного аргумента.
Поэтому $D=\{x\in D_f\mid f(x)\geqslant0\}$ Для каждой сохранившейся точки $(u,v)$ , где $v\geqslant0$ , строим точку
$(u,\sqrt v)$ . Отрицательная часть исходного графика при этом не
участвует в построении.

В выбранной модели условие $e^{x}-2\geqslant0$ равносильно
$x\geqslant\ln2$ . Следовательно, $D=[\ln2,+\infty)\qquadE=[0,+\infty)$ График начинается в точке $(\ln2,0)$ и имеет в ней вертикальную
касательную. Действительно, при $x>\ln2$ $y'=\frac{e^{x}}{2\sqrt{e^{x}-2}}$ и поэтому $\lim_{x\to\ln2+0}y'=+\infty$
19
Пункт е)
Функция $y=\ln f(x)$ .

Логарифм определён только при строго положительном аргументе: $D=\{x\in D_f\mid f(x)>0\}$ Точки исходного графика с $v\leqslant0$ отбрасываем, а каждую оставшуюся
точку $(u,v)$ преобразуем в $(u,\ln v)$ . При $0<v<1$ новая ордината
отрицательна, при $v=1$ равна нулю, а при $v>1$ положительна.
20
Для модели получаем $D=(\ln2,+\infty)\qquadE=\mathbb R$ Функция $y=\ln(e^{x}-2)$ строго возрастает. При приближении к левой
границе области определения $\lim_{x\to\ln2+0}\ln(e^{x}-2)=-\infty$ поэтому прямая $x=\ln2$ является вертикальной асимптотой. Нуль находится
из равенства $e^{x}-2=1\quad\Longleftrightarrow\quadx=\ln3$
21
Построение графика
В пункте д) оставляем только неотрицательные ординаты
исходного графика и заменяем $v$ на $\sqrt v$ . В пункте е) оставляем
только положительные ординаты и заменяем $v$ на $\ln v$ .
22
Пункт д)
$y=\sqrt{f(x)}$ $график к задаче Демидовича № 328$
23
Пункт е)
$y=\ln f(x)$ $график к задаче Демидовича № 328$
24
Пункт ж)
Функция $y=f(f(x))$ .

Композиция строится в два шага. Для выбранного $x$ сначала по исходному
графику находим внутреннее значение $u=f(x)$ Затем используем это число как новый аргумент и по тому же исходному
графику находим $f(u)$ . Поэтому область определения композиции равна $D=\{x\in D_f\mid f(x)\in D_f\}$ В отличие от остальных подпунктов, здесь нельзя получить новый график
одним преобразованием ординаты точки $(x,f(x))$ .

Конкретно: если исходный график содержит точку $(x,a)$ , то сначала
считываем $a=f(x)$ . Затем на том же графике находим значение $f(a)$ и
получаем точку композиции $(x,f(a))$ .
25
Для модели, определённой на всей числовой прямой, $f(f(x))=e^{e^{x}-2}-2$ и $D=\mathbb R$ . Функция строго возрастает. Поскольку
$e^{x}-2\to-2$ при $x\to-\infty$ , получаем $f(f(x))\longrightarrow e^{-2}-2$ Прямая $y=e^{-2}-2$ является горизонтальной асимптотой, а множество
значений равно $(e^{-2}-2,+\infty)$ . Нуль находится из равенств $\begin{aligned}e^{e^{x}-2}-2&=0\\e^{x}-2&=\ln2\\x&=\ln(2+\ln2)\end{aligned}$
26
Пункт з)
Функция $y=\operatorname{sgn}f(x)$ .

Значение новой функции определяется только знаком ординаты исходного
графика: $\operatorname{sgn}f(x)=\begin{cases}-1,&f(x)<0\\[1mm]0,&f(x)=0\\[1mm]1,&f(x)>0\end{cases}$ Следовательно, промежутки отрицательности переносятся на уровень $y=-1$ ,
нули — на уровень $y=0$ , а промежутки положительности — на уровень
$y=1$ .
27
Для модели $\operatorname{sgn}(e^{x}-2)=\begin{cases}-1,&x<\ln2\\[1mm]0,&x=\ln2\\[1mm]1,&x>\ln2\end{cases}$ Область определения равна $\mathbb R$ , а множество значений равно
$\{-1,0,1\}$ .
28
Построение графика
В пункте ж) дважды считываем значения по исходному
графику. В пункте з) заменяем участки отрицательности и положительности
горизонтальными участками на уровнях $-1$ и $1$ , а нуль отмечаем отдельно.
29
Пункт ж)
$y=f(f(x))$ $график к задаче Демидовича № 328$
30
Пункт з)
$y=\operatorname{sgn}f(x)$ $график к задаче Демидовича № 328$
31
Пункт и)
Функция $y=[f(x)]$ .

Обозначение $[t]$ означает целую часть числа $t$ , то есть наибольшее
целое число, не превосходящее $t$ . Поэтому для каждого $n\in\mathbb Z$ $[f(x)]=n\quad\Longleftrightarrow\quadn\leqslant f(x)<n+1$ Чтобы построить график, проводим на исходном рисунке горизонтальные уровни
$y=n$ . На тех множествах аргументов, где исходный график находится между
уровнями $n$ и $n+1$ , новая функция равна постоянному числу $n$ .
32
Для возрастающей модели $f(x)=e^{x}-2$ получаем $[e^{x}-2]=\begin{cases}-2,&x<0\\[1mm]n,&\ln(n+2)\leqslant x<\ln(n+3),\quad n=-1,0,1,\ldots\end{cases}$ Следовательно, область определения равна $\mathbb R$ , а множество значений
равно $E=\{-2,-1,0,1,2,\ldots\}$ Каждая ступень включает левый конец и не включает правый.
33
Построение графика
На каждом промежутке
$\ln(n+2)\leqslant x<\ln(n+3)$ проводим горизонтальную ступень уровня
$y=n$ . Левые концы отмечаем закрашенными точками, правые — выколотыми.
34
Пункт и)
$y=[f(x)]$ $график к задаче Демидовича № 328$

На общем рисунке ширина ступеней уменьшается с ростом $x$ . Поэтому
отдельно увеличим три соседние ступени, соответствующие значениям
$n=0,1,2$ .

Увеличение для $n=0,1,2$ $график к задаче Демидовича № 328$

Проверка

Ответ. Для произвольного известного графика

y=f(x)

f(x)=e^{x}-2