Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 308

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций:

Задача 308

y=ln⁡(cos⁡x)y=\ln(\cos x)
ПостроениеФункция чётная, имеет период 2π2\pi, вертикальные
асимптоты x=π2+πkx=\frac{\pi}{2}+\pi k и множество значений
(−∞,0](-\infty,0].

Построение

Идея

Логарифм определён только при положительном аргументе. Поэтомуcos⁡x>0\cos x>0и область определения равнаD=⋃k∈Z(−π2+2πk,π2+2πk)D=\bigcup_{k\in\mathbb Z}
\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k,
\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)Функция чётная и имеет период 2π2\pi. Поскольку 0<cos⁡x⩽10<\cos x\leqslant1
на области определения, имеемln⁡(cos⁡x)⩽0\ln(\cos x)\leqslant0Равенство достигается в точках x=2πkx=2\pi k. При приближении изнутри
области определения к её концамln⁡(cos⁡x)⟶−∞\ln(\cos x)\longrightarrow-\inftyпоэтому прямыеx=π2+πkk∈Zx=\frac{\pi}{2}+\pi k
\qquad
k\in\mathbb Zявляются вертикальными асимптотами.
  1. 1
    Идея. Производная равнаy′=−tg⁡xy'=-\operatorname{tg}xНа каждом промежутке
    (−π2+2πk,2πk)\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k,2\pi k\right) функция возрастает от
    −∞-\infty до 00, а на
    (2πk,π2+2πk)\left(2\pi k,\frac{\pi}{2}+2\pi k\right) убывает от 00 до
    −∞-\infty. Следовательно, множество значений равноE=(−∞,0]E=(-\infty,0]
  2. 2

    Построение графика

    Проводим вертикальные асимптоты
    x=π2+πkx=\frac{\pi}{2}+\pi k. Между каждой парой асимптот, окружающей точку
    2πk2\pi k, строим перевёрнутую дугу с вершиной (2πk,0)(2\pi k,0). На
    промежутках, где cos⁡x<0\cos x<0, графика нет.график к задаче Демидовича № 308

Проверка

Ответ. Функция чётная, имеет период 2π2\pi, вертикальные
асимптоты x=π2+πkx=\frac{\pi}{2}+\pi k и множество значений
(−∞,0](-\infty,0].
Демидович № 308 — решение и ответ