Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 316

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики обратных круговых функций:

Задача 316

y=\arccos\frac1x

ПостроениеОбласть определения равна

(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)

; обе ветви возрастают и приближаются к
асимптоте

y=\frac{\pi}{2}

Построение

Как и в предыдущей задаче, условие

\left|\frac1x\right|\leqslant1

даёт область определения

D=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)

При

x\geqslant1

число

\frac{1}{x}

принимает значения из

(0,1]

, поэтому

0\leqslant\arccos\frac1x<\frac{\pi}{2}

При

x\leqslant-1

получаем

\frac{\pi}{2}<\arccos\frac1x\leqslant\pi

Следовательно,

E=\left[0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\pi\right]

Характерные точки равны

f(1)=0\qquadf(-1)=\pi

а симметрия описывается равенством

f(-x)=\pi-f(x)

На каждом луче дробь

\frac{1}{x}

строго убывает. Арккосинус также строго убывает, поэтому при уменьшении его аргумента результат увеличивается. Таким образом, обе ветви возрастают. В частности,

f(2)=\frac{\pi}{3}

f(-2)=2\frac{\pi}{3}

.

При большом

|x|

число

\frac{1}{x}

близко к нулю. На отрезке

[0,\pi]

косинус равен нулю при угле

\frac{\pi}{2}

, поэтому

\arccos(\frac{1}{x})

приближается к этому углу.

Прямая

y=\frac{\pi}{2}

является горизонтальной асимптотой; график её
не пересекает.

Построение графика

На луче

x\geqslant1

строим возрастающую ветвь от

(1,0)

к уровню

y=\frac{\pi}{2}

. На левом луче строим возрастающую
ветвь от той же асимптоты к точке

(-1,\pi)