Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 316

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики обратных круговых функций:

y=\arccos\frac1x

ПостроениеОбласть определения равна

(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)

; обе ветви возрастают и приближаются к
асимптоте

y=\frac{\pi}{2}

Построение

Идея

Как и в предыдущей задаче, условие

\left|\frac1x\right|\leqslant1

даёт область определения

D=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)

При

x\geqslant1

число

1/x

принимает значения из

(0,1]

, поэтому

0\leqslant\arccos\frac1x<\frac{\pi}{2}

При

x\leqslant-1

получаем

\frac{\pi}{2}<\arccos\frac1x\leqslant\pi

Следовательно,

E=\left[0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\pi\right]

Характерные точки равны

f(1)=0\qquadf(-1)=\pi

а симметрия описывается равенством

f(-x)=\pi-f(x)

1
Идея. Производная на обеих частях области определения равна $y'=\frac1{|x|\sqrt{x^2-1}}>0$ поэтому обе ветви строго возрастают. В точках $x=\pm1$ имеются
вертикальные касательные.

При $x\to\pm\infty$ аргумент $1/x$ стремится к нулю, откуда $\lim_{x\to\pm\infty}\arccos\frac1x=\frac{\pi}{2}$ Прямая $y=\frac{\pi}{2}$ является горизонтальной асимптотой; график её
не пересекает.
2
Построение графика
На луче $x\geqslant1$ строим возрастающую ветвь от
$(1,0)$ к уровню $y=\frac{\pi}{2}$ . На левом луче строим возрастающую
ветвь от той же асимптоты к точке $(-1,\pi)$ . $график к задаче Демидовича № 316$

Проверка

Ответ. Область определения равна

(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)

; обе ветви возрастают и приближаются к
асимптоте

y=\frac{\pi}{2}