Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 287

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 287

Построить график функции

y=a\cos x+b\sin x

, приведя её к виду

y=A\sin(x-x_0)

. Рассмотреть пример:

y=6\cos x+8\sin x

Построение

6\cos x+8\sin x=10\sin\left(x+\operatorname{arctg}\frac34\right)

Построение

Идея

Сначала рассмотрим случай

(a,b)\ne(0,0)

. Положим

A=\sqrt{a^2+b^2}>0

Выберем число

x_0

так, чтобы

\cos x_0=\frac{b}{A}\qquad\sin x_0=-\frac{a}{A}

Такой выбор возможен, поскольку

\left(\frac{b}{A}\right)^2+\left(-\frac{a}{A}\right)^2=1

1
По формуле синуса разности $\begin{aligned}A\sin(x-x_0)&=A\sin x\cos x_0-A\cos x\sin x_0=\\&=b\sin x+a\cos x\end{aligned}$ Следовательно, $a\cos x+b\sin x=A\sin(x-x_0)$ Число $x_0$ определяется с точностью до слагаемого $2\pi k$ . Если
$a=b=0$ , то функция равна нулю; в этом вырожденном случае можно взять
$A=0$ , а $x_0$ выбрать произвольно. Тогда $y\equiv0\qquadE=\{0\}$ все $x\in\mathbb R$ являются нулями функции. Любое число $T>0$ служит
её периодом, поэтому наименьшего положительного периода нет.

Идея. Далее считаем, что $(a,b)\ne(0,0)$ , то есть $A>0$ . В этом случае
приведение к одной синусоиде сразу даёт основные свойства функции: её
область определения равна $\mathbb R$ , амплитуда равна $A=\sqrt{a^2+b^2}$ множество значений имеет вид $[-A,A]$ , а наименьший положительный период
равен $2\pi$ . Кроме того, $\begin{aligned}y=0 &\quad\Longleftrightarrow\quad x=x_0+\pi k\\y=A &\quad\Longleftrightarrow\quad x=x_0+\frac\pi2+2\pi k\\y=-A &\quad\Longleftrightarrow\quadx=x_0+\frac{3\pi}{2}+2\pi k\end{aligned}$ где $k\in\mathbb Z$ .
2
Рассмотрим пример. Здесь $A=\sqrt{6^2+8^2}=10$ Введём угол $\alpha=\operatorname{arctg}\frac34$ Поскольку $\alpha\in\left(0,\dfrac\pi2\right)$ , рассмотрим прямоугольный
треугольник с катетами $3$ и $4$ . Его гипотенуза равна $5$ , поэтому $\sin\alpha=\frac35\qquad\cos\alpha=\frac45$ и получаем $\begin{aligned}6\cos x+8\sin x&=10\left(\sin x\cos\alpha+\cos x\sin\alpha\right)=\\&=10\sin(x+\alpha)=\\&=10\sin(x-x_0)\end{aligned}$ где можно взять $x_0=-\alpha=-\operatorname{arctg}\frac34$ Значит, график получается из $y=10\sin x$ переносом влево на
$\alpha=\operatorname{arctg}\dfrac34$ . Его максимумы имеют координаты $\left(\frac\pi2-\alpha+2\pi k,10\right)$ а минимумы — координаты $\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha+2\pi k,-10\right)$ При $x=0$ функция принимает значение $6$ .
3
Построение графика
Пунктиром показываем слагаемые $6\cos x$ и
$8\sin x$ , а сплошной линией — их сумму. Отмечаем точку $(0,6)$ ,
ближайшие максимум и минимум результирующей синусоиды. $график к задаче Демидовича № 287$

Проверка

Ответ.

6\cos x+8\sin x=10\sin\left(x+\operatorname{arctg}\frac34\right)