Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 287

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 287

Построить график функции y=acos⁡x+bsin⁡xy=a\cos x+b\sin x, приведя её к виду
y=Asin⁡(x−x0)y=A\sin(x-x_0). Рассмотреть пример: y=6cos⁡x+8sin⁡xy=6\cos x+8\sin x.
Построение6cos⁡x+8sin⁡x=10sin⁡(x+arctg⁡34)6\cos x+8\sin x
=10\sin\left(x+\operatorname{arctg}\frac34\right)

Построение

Сначала рассмотрим случай (a,b)≠(0,0)(a,b)\ne(0,0). ПоложимA=a2+b2>0A=\sqrt{a^2+b^2}>0Выберем число x0x_0 так, чтобыcos⁡x0=bAsin⁡x0=−aA\cos x_0=\frac{b}{A}
\qquad
\sin x_0=-\frac{a}{A}Такой выбор возможен, поскольку(bA)2+(−aA)2=1\left(\frac{b}{A}\right)^2+
\left(-\frac{a}{A}\right)^2=1По формуле синуса разностиAsin⁡(x−x0)=\displaystyle A\sin(x-x_0)\mathrel{=}Asin⁡xcos⁡x0−Acos⁡xsin⁡x0=\displaystyle A\sin x\cos x_0-A\cos x\sin x_0\mathrel{=}bsin⁡x+acos⁡x\displaystyle b\sin x+a\cos xСледовательно,acos⁡x+bsin⁡x=Asin⁡(x−x0)a\cos x+b\sin x=A\sin(x-x_0)Число x0x_0 определяется с точностью до слагаемого 2πk2\pi k. Если
a=b=0a=b=0, то функция равна нулю; в этом вырожденном случае можно взять
A=0A=0, а x0x_0 выбрать произвольно. Тогдаy≡0E={0}y\equiv0
\qquad
E=\{0\}все x∈Rx\in\mathbb R являются нулями функции. Любое число T>0T>0 служит
её периодом, поэтому наименьшего положительного периода нет.

Далее считаем, что (a,b)≠(0,0)(a,b)\ne(0,0), то есть A>0A>0. В этом случае
приведение к одной синусоиде сразу даёт основные свойства функции: её
область определения равна R\mathbb R, амплитуда равнаA=a2+b2A=\sqrt{a^2+b^2}множество значений имеет вид [−A,A][-A,A], а наименьший положительный период
равен 2π2\pi. Кроме того,y=0⟺x=x0+πky=A⟺x=x0+π2+2πky=−A⟺x=x0+3π2+2πk\begin{aligned}
y=0 &\quad\Longleftrightarrow\quad x=x_0+\pi k\\
y=A &\quad\Longleftrightarrow\quad x=x_0+\frac\pi2+2\pi k\\
y=-A &\quad\Longleftrightarrow\quad
x=x_0+\frac{3\pi}{2}+2\pi k
\end{aligned}где k∈Zk\in\mathbb Z.
Рассмотрим пример. ЗдесьA=62+82=10A=\sqrt{6^2+8^2}=10Введём уголα=arctg⁡34\alpha=\operatorname{arctg}\frac34Поскольку α∈(0,π2)\alpha\in\left(0,\dfrac\pi2\right), рассмотрим прямоугольный
треугольник с катетами 33 и 44. Его гипотенуза равна 55, поэтомуsin⁡α=35cos⁡α=45\sin\alpha=\frac35
\qquad
\cos\alpha=\frac45и получаем6cos⁡x+8sin⁡x=\displaystyle 6\cos x+8\sin x\mathrel{=}10(sin⁡xcos⁡α+cos⁡xsin⁡α)=\displaystyle 10\left(\sin x\cos\alpha+\cos x\sin\alpha\right)\mathrel{=}10sin⁡(x+α)=\displaystyle 10\sin(x+\alpha)\mathrel{=}10sin⁡(x−x0)\displaystyle 10\sin(x-x_0)где можно взятьx0=−α=−arctg⁡34x_0=-\alpha=-\operatorname{arctg}\frac34Значит, график получается из y=10sin⁡xy=10\sin x переносом влево на
α=arctg⁡34\alpha=\operatorname{arctg}\dfrac34. Его максимумы имеют координаты(π2−α+2πk,10)\left(\frac\pi2-\alpha+2\pi k,10\right)а минимумы — координаты(3π2−α+2πk,−10)\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha+2\pi k,-10\right)При x=0x=0 функция принимает значение 66.

Построение графика

Пунктиром показываем слагаемые 6cos⁡x6\cos x и
8sin⁡x8\sin x, а сплошной линией — их сумму. Отмечаем точку (0,6)(0,6),
ближайшие максимум и минимум результирующей синусоиды.график к задаче Демидовича № 287