Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 318

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики обратных круговых функций:

Задача 318

y=arcsin⁡(sin⁡x)y=\arcsin(\sin x)
ПостроениеФункция нечётная, имеет период 2π2\pi и множество значений
[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]; её график является
непрерывной треугольной волной.

Построение

Идея

Функция arcsin⁡t\arcsin t принимает значения только из отрезка
[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] и является обратной к
синусу, ограниченному на этот отрезок. Поэтому равенство
arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x)=x выполняется лишь при
x∈[−π2,π2]x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].
  1. 1
    На каждом следующем промежутке синус принимает те же значения, но
    направление прохождения отрезка меняется. Для любого k∈Zk\in\mathbb Z
    получаемarcsin⁡(sin⁡x)={x−2πk,−π2+2πk⩽x⩽π2+2πkπ−x+2πk,π2+2πk⩽x⩽3π2+2πk\arcsin(\sin x)=
    \begin{cases}
    x-2\pi k,
    &-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\leqslant x\leqslant
    \dfrac{\pi}{2}+2\pi k\\[2mm]
    \pi-x+2\pi k,
    &\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\leqslant x\leqslant
    \dfrac{3\pi}{2}+2\pi k
    \end{cases}    Следовательно, область определения равна R\mathbb R, множество значений
    равноE=[−π2,π2]E=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]Функция нечётная и имеет наименьший положительный период 2π2\pi.
    Её нули находятся в точках x=πkx=\pi k. Максимумы, равные π/2\pi/2,
    достигаются при x=π/2+2πkx=\pi/2+2\pi k, а минимумы, равные −π/2-\pi/2, —
    при x=−π/2+2πkx=-\pi/2+2\pi k.
  2. 2

    Построение графика

    На каждом из указанных промежутков строим отрезок
    прямой с угловым коэффициентом 11 или −1-1. Получается непрерывная
    треугольная волна с вершинами на уровнях ±π2\pm\frac{\pi}{2}.график к задаче Демидовича № 318

Проверка

Ответ. Функция нечётная, имеет период 2π2\pi и множество значений
[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]; её график является
непрерывной треугольной волной.
Демидович № 318 — решение и ответ