Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 318

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики обратных круговых функций:

Задача 318

y=arcsin⁡(sin⁡x)y=\arcsin(\sin x)
ПостроениеФункция нечётная, имеет период 2π2\pi и множество значений
[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]; её график является
непрерывной треугольной волной.

Построение

Функция arcsin⁡t\arcsin t принимает значения только из отрезка
[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] и является обратной к
синусу, ограниченному на этот отрезок. Поэтому равенство
arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x)=x выполняется лишь при
x∈[−π2,π2]x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].

На каждом следующем промежутке синус принимает те же значения, но
направление прохождения отрезка меняется. Для любого k∈Zk\in\mathbb Z
получаемarcsin⁡(sin⁡x)={x−2πk,−π2+2πk⩽x⩽π2+2πkπ−x+2πk,π2+2πk⩽x⩽3π2+2πk\arcsin(\sin x)=
\begin{cases}
x-2\pi k,
&-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\leqslant x\leqslant
\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\\[2mm]
\pi-x+2\pi k,
&\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\leqslant x\leqslant
\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k
\end{cases}Следовательно, область определения равна R\mathbb R, множество значений
равноE=[−π2,π2]E=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]Функция нечётная и имеет наименьший положительный период 2π2\pi.
Её нули находятся в точках x=πkx=\pi k. Максимумы, равные π2\frac{\pi}{2},
достигаются при x=π2+2πkx=\frac{\pi}{2}+2\pi k, а минимумы, равные −π2-\frac{\pi}{2}, —
при x=−π2+2πkx=-\frac{\pi}{2}+2\pi k.

Построение графика

На каждом из указанных промежутков строим отрезок
прямой с угловым коэффициентом 11 или −1-1. Получается непрерывная
треугольная волна с вершинами на уровнях ±π2\pm\frac{\pi}{2}.график к задаче Демидовича № 318