Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 311

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики обратных круговых функций:

Задача 311

y=arcsin⁡xy=\arcsin x
ПостроениеОбласть определения равна [−1,1][-1,1], множество значений —
[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]; функция нечётная и
строго возрастает.

Построение

Идея

Функция y=arcsin⁡xy=\arcsin x является обратной к функции y=sin⁡xy=\sin x, если
синус рассматривается только на отрезке
[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]. На этом отрезке синус
строго возрастает и принимает все значения от −1-1 до 11. ПоэтомуD=[−1,1]E=[−π2,π2]D=[-1,1]
\qquad
E=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]Характерные точки имеют видarcsin⁡(−1)=−π2arcsin⁡0=0arcsin⁡1=π2\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}
\qquad
\arcsin0=0
\qquad
\arcsin1=\frac{\pi}{2}
  1. 1
    Ограничение синуса на симметричном отрезке
    [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] нечётно и взаимно однозначно,
    поэтому его обратная функция также нечётна:arcsin⁡(−x)=−arcsin⁡x\arcsin(-x)=-\arcsin xСледовательно, график симметричен относительно начала координат.

    Идея. Во внутренних точках области определения производная равнаy′=11−x2>0y'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}>0поэтому функция строго возрастает на (−1,1)(-1,1). При x→−1+0x\to-1+0 и
    x→1−0x\to1-0 знаменатель стремится к нулю, а производная — к
    +∞+\infty. Поэтому в конечных точках график имеет вертикальные
    касательные.
  2. 2

    Построение графика

    Строим график синуса только на отрезке
    [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] и отражаем его относительно
    прямой y=xy=x. Полученная кривая проходит через точки
    (−1,−π2)\left(-1,-\frac{\pi}{2}\right), (0,0)(0,0) и
    (1,π2)\left(1,\frac{\pi}{2}\right).график к задаче Демидовича № 311

Проверка

Ответ. Область определения равна [−1,1][-1,1], множество значений —
[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]; функция нечётная и
строго возрастает.
Демидович № 311 — решение и ответ