Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 311

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики обратных круговых функций:

Задача 311

y=arcsin⁡xy=\arcsin x
ПостроениеОбласть определения равна [−1,1][-1,1], множество значений —
[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]; функция нечётная и
строго возрастает.

Построение

Функция y=arcsin⁡xy=\arcsin x является обратной к функции y=sin⁡xy=\sin x, если
синус рассматривается только на отрезке
[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]. На этом отрезке синус
строго возрастает и принимает все значения от −1-1 до 11. ПоэтомуD=[−1,1]E=[−π2,π2]D=[-1,1]
\qquad
E=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]Характерные точки имеют видarcsin⁡(−1)=−π2arcsin⁡0=0arcsin⁡1=π2\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}
\qquad
\arcsin0=0
\qquad
\arcsin1=\frac{\pi}{2}Ограничение синуса на симметричном отрезке
[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] нечётно и взаимно однозначно,
поэтому его обратная функция также нечётна:arcsin⁡(−x)=−arcsin⁡x\arcsin(-x)=-\arcsin xСледовательно, график симметричен относительно начала координат.

Возрастание арксинуса следует непосредственно из определения. Пусть x1<x2x_1<x_2, α=arcsin⁡x1\alpha=\arcsin x_1 и β=arcsin⁡x2\beta=\arcsin x_2. Если бы α≥β\alpha\geq\beta, возрастание синуса на выбранном отрезке дало бы x1=sin⁡α≥sin⁡β=x2x_1=\sin\alpha\geq\sin\beta=x_2, что противоречит выбору аргументов. Поэтому α<β\alpha<\beta.

Геометрически это означает, что отражение возрастающей дуги синуса относительно прямой y=xy=x также даёт возрастающую кривую. Для дополнительных опорных точек меняем координаты местами: из (π6,12)(\frac{\pi}{6},\frac{1}{2}) получаем (12,π6)(\frac{1}{2},\frac{\pi}{6}), из (−π6,−12)(-\frac{\pi}{6},-\frac{1}{2}) — (−12,−π6)(-\frac{1}{2},-\frac{\pi}{6}).

Построение графика

Строим график синуса только на отрезке
[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] и отражаем его относительно
прямой y=xy=x. Полученная кривая проходит через точки
(−1,−π2)\left(-1,-\frac{\pi}{2}\right), (0,0)(0,0) и
(1,π2)\left(1,\frac{\pi}{2}\right).график к задаче Демидовича № 311