Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 312

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики обратных круговых функций:

Задача 312

y=arccos⁡xy=\arccos x
ПостроениеОбласть определения равна [−1,1][-1,1], множество значений —
[0,π][0,\pi]; функция строго убывает.

Построение

Идея

Функция y=arccos⁡xy=\arccos x является обратной к функции y=cos⁡xy=\cos x, если
косинус рассматривается на отрезке [0,π][0,\pi]. На этом отрезке косинус
строго убывает от 11 до −1-1. ПоэтомуD=[−1,1]E=[0,π]D=[-1,1]
\qquad
E=[0,\pi]Основные значения равныarccos⁡1=0arccos⁡0=π2arccos⁡(−1)=π\arccos1=0
\qquad
\arccos0=\frac{\pi}{2}
\qquad
\arccos(-1)=\piСвязь с предыдущей функцией имеет видarccos⁡x=π2−arcsin⁡x\arccos x=\frac{\pi}{2}-\arcsin x
  1. 1
    Идея. На промежутке (−1,1)(-1,1) производная равнаy′=−11−x2<0y'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}<0поэтому функция строго убывает. В точках x=−1x=-1 и x=1x=1 график имеет
    вертикальные касательные.
  2. 2

    Построение графика

    Строим дугу y=cos⁡xy=\cos x при 0⩽x⩽π0\leqslant x\leqslant
    \pi     и отражаем её относительно прямой y=xy=x. Получаем кривую через
    точки (−1,π)(-1,\pi), (0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right) и (1,0)(1,0).график к задаче Демидовича № 312

Проверка

Ответ. Область определения равна [−1,1][-1,1], множество значений —
[0,π][0,\pi]; функция строго убывает.
Демидович № 312 — решение и ответ