Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 325

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 325

Зная график функции

y=f(x)

, построить графики функций:

\text{а) }y=-f(x);\quad \text{б) }y=f(-x);\quad \text{в) }y=-f(-x)

\text{г) }y=f(x-x_0);\quad \text{д) }y=y_0+f(x-x_0);\quad \text{е) }y=f(2x)

\text{ж) }y=f(kx+b)\qquad(k\ne0)

ПостроениеКонкретная форма каждого нового графика зависит от исходного
графика

\Gamma

, а приведённые отображения дают точный алгоритм построения
во всех пунктах.

Построение

Идея

Обозначим график исходной функции через

\Gamma

. Возьмём на нём произвольную точку

M(u,v),\qquad v=f(u)

1
Идея. Чтобы построить новый график, найдём, в какую точку переходит $M$ .
Такой способ описывает весь график, поскольку точка $M$ выбрана произвольно.
2
Пункт а)
Функция $y=-f(x)$ .
3
При том же аргументе значение функции меняет знак. Поэтому $(u,v)\longmapsto(u,-v)$ Получаем отражение графика $\Gamma$ относительно оси $Ox$ .
4
Пункт б)
Функция $y=f(-x)$ .
5
Если $x=-u$ , то $-x=u$ и $y=f(u)=v$ . Следовательно, $(u,v)\longmapsto(-u,v)$ Это отражение графика $\Gamma$ относительно оси $Oy$ .
6
Пункт в)
Функция $y=-f(-x)$ .
7
Здесь одновременно меняются знаки обеих координат: $(u,v)\longmapsto(-u,-v)$ Поэтому график $\Gamma$ отражается относительно начала координат. Тот же результат можно получить двумя последовательными отражениями: сначала относительно $Oy$ , затем относительно $Ox$ .
8
Пункт г)
Функция $y=f(x-x_0)$ .
9
Положим $u=x-x_0$ . Тогда $x=u+x_0$ , а $y=f(u)=v$ . Значит, $(u,v)\longmapsto(u+x_0,v)$ График переносится на вектор $(x_0,0)$ . При $x_0>0$ это сдвиг вправо, при $x_0<0$ — влево.
10
Пункт д)
Функция $y=y_0+f(x-x_0)$ .

Как и в предыдущем пункте, $x=u+x_0$ , но теперь новая ордината равна $v+y_0$ . Поэтому $(u,v)\longmapsto(u+x_0,v+y_0)$ График переносится на вектор $(x_0,y_0)$ .
11
Пункт е)
Функция $y=f(2x)$ .
12
Положим $u=2x$ . Тогда $x=\dfrac{u}{2}$ , а ордината не меняется: $(u,v)\longmapsto\left(\dfrac{u}{2},v\right)$ Все абсциссы уменьшаются в два раза. График сжимается к оси $Oy$ в два раза.
13
Пункт ж)
Функция $y=f(kx+b)$ , где $k\ne0$ .

Пусть $u=kx+b$ . Разрешая это равенство относительно $x$ , получаем $x=\dfrac{u-b}{k}=\dfrac{u}{k}-\dfrac{b}{k}$ Следовательно, общее правило преобразования имеет вид $(u,v)\longmapsto\left(\dfrac{u-b}{k},v\right)$ Сначала абсцисса умножается на $\dfrac1k$ , затем выполняется перенос на $-\dfrac bk$ вдоль оси $Ox$ . Поэтому:

• при $|k|>1$ график сжимается к оси $Oy$ в $|k|$ раз;

• при $0<|k|<1$ график растягивается от оси $Oy$ в $\dfrac1{|k|}$ раз;

• при $k<0$ дополнительно происходит отражение относительно оси $Oy$ ;

• после этого график сдвигается вдоль $Ox$ на $-\dfrac bk$ .
14
Построение графика
Для каждой характерной точки исходного графика применяем
соответствующее координатное преобразование из таблицы. Затем соединяем
полученные точки, сохраняя непрерывность, разрывы и вид ветвей исходного
графика. $таблица к задаче Демидовича № 325$
15
Так как конкретный вид исходного графика в условии не задан, для
иллюстрации всех преобразований возьмём одну и ту же несимметричную
модельную функцию $\varphi(x)=\frac34\sin\frac{3x}{2}+\frac14\cos\frac{2x}{3}+\frac{x}{12}$ Пунктиром показан график $y=\varphi(x)$ , синей линией — результат
преобразования. Модельная функция определена на всей числовой прямой,
поэтому её кривые продолжаются до границ каждого координатного окна.
Рисунки не накладывают на исходную функцию $f$ дополнительных условий:
для любого заданного графика применяются те же отображения точек.
16
Построение графика
В пунктах г) и д) для наглядного рисунка взяты
$x_0=1$ и $y_0=1$ . В пункте ж) отдельно показаны случаи
$(k,b)=(2,-2)$ и $(k,b)=(-2,1)$ , чтобы было видно влияние знака $k$ .
17
Пункт а)
$y=-f(x)$ $график к задаче Демидовича № 325$
18
Пункт б)
$y=f(-x)$ $график к задаче Демидовича № 325$
19
Пункт в)
$y=-f(-x)$ $график к задаче Демидовича № 325$
20
Пункт г)
$y=f(x-x_0)$ $график к задаче Демидовича № 325$
21
Пункт д)
$y=y_0+f(x-x_0)$ $график к задаче Демидовича № 325$
22
Пункт е)
$y=f(2x)$ $график к задаче Демидовича № 325$
23
Пункт ж)
$k>0$
$y=f(kx+b)$ $график к задаче Демидовича № 325$
24
Пункт ж)
$k<0$
$y=f(kx+b)$ $график к задаче Демидовича № 325$

Проверка

Ответ. Конкретная форма каждого нового графика зависит от исходного
графика

\Gamma

, а приведённые отображения дают точный алгоритм построения
во всех пунктах.