Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 325

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 325

Зная график функции y=f(x)y=f(x), построить графики функций:а) y=−f(x);б) y=f(−x);в) y=−f(−x)\text{а) }y=-f(x);\quad \text{б) }y=f(-x);\quad \text{в) }y=-f(-x)г) y=f(x−x0);д) y=y0+f(x−x0);е) y=f(2x)\text{г) }y=f(x-x_0);\quad \text{д) }y=y_0+f(x-x_0);\quad \text{е) }y=f(2x)ж) y=f(kx+b)(k≠0)\text{ж) }y=f(kx+b)\qquad(k\ne0)
ПостроениеКонкретная форма каждого нового графика зависит от исходного
графика Γ\Gamma, а приведённые отображения дают точный алгоритм построения
во всех пунктах.

Построение

Обозначим график исходной функции через Γ\Gamma. Возьмём на нём произвольную точкуM(u,v),v=f(u)M(u,v),\qquad v=f(u)Чтобы построить новый график, найдём, в какую точку переходит MM.
Такой способ описывает весь график, поскольку точка MM выбрана произвольно.

Пункт а)

Функция y=−f(x)y=-f(x).
При том же аргументе значение функции меняет знак. Поэтому(u,v)⟼(u,−v)(u,v)\longmapsto(u,-v)Получаем отражение графика Γ\Gamma относительно оси OxOx.

Пункт б)

Функция y=f(−x)y=f(-x).
Если x=−ux=-u, то −x=u-x=u и y=f(u)=vy=f(u)=v. Следовательно,(u,v)⟼(−u,v)(u,v)\longmapsto(-u,v)Это отражение графика Γ\Gamma относительно оси OyOy.

Пункт в)

Функция y=−f(−x)y=-f(-x).
Здесь одновременно меняются знаки обеих координат:(u,v)⟼(−u,−v)(u,v)\longmapsto(-u,-v)Поэтому график Γ\Gamma отражается относительно начала координат. Тот же результат можно получить двумя последовательными отражениями: сначала относительно OyOy, затем относительно OxOx.

Пункт г)

Функция y=f(x−x0)y=f(x-x_0).
Положим u=x−x0u=x-x_0. Тогда x=u+x0x=u+x_0, а y=f(u)=vy=f(u)=v. Значит,(u,v)⟼(u+x0,v)(u,v)\longmapsto(u+x_0,v)График переносится на вектор (x0,0)(x_0,0). При x0>0x_0>0 это сдвиг вправо, при x0<0x_0<0 — влево.

Пункт д)

Функция y=y0+f(x−x0)y=y_0+f(x-x_0).

Как и в предыдущем пункте, x=u+x0x=u+x_0, но теперь новая ордината равна v+y0v+y_0. Поэтому(u,v)⟼(u+x0,v+y0)(u,v)\longmapsto(u+x_0,v+y_0)График переносится на вектор (x0,y0)(x_0,y_0).

Пункт е)

Функция y=f(2x)y=f(2x).
Положим u=2xu=2x. Тогда x=u2x=\dfrac{u}{2}, а ордината не меняется:(u,v)⟼(u2,v)(u,v)\longmapsto\left(\dfrac{u}{2},v\right)Все абсциссы уменьшаются в два раза. График сжимается к оси OyOy в два раза.

Пункт ж)

Функция y=f(kx+b)y=f(kx+b), где k≠0k\ne0.

Пусть u=kx+bu=kx+b. Разрешая это равенство относительно xx, получаемx=u−bk=uk−bkx=\dfrac{u-b}{k}=\dfrac{u}{k}-\dfrac{b}{k}Следовательно, общее правило преобразования имеет вид(u,v)⟼(u−bk,v)(u,v)\longmapsto\left(\dfrac{u-b}{k},v\right)Сначала абсцисса умножается на 1k\dfrac1k, затем выполняется перенос на −bk-\dfrac bk вдоль оси OxOx. Поэтому:

• при ∣k∣>1|k|>1 график сжимается к оси OyOy в ∣k∣|k| раз;

• при 0<∣k∣<10<|k|<1 график растягивается от оси OyOy в 1∣k∣\dfrac1{|k|} раз;

• при k<0k<0 дополнительно происходит отражение относительно оси OyOy;

• после этого график сдвигается вдоль OxOx на −bk-\dfrac bk.

Построение графика

Для каждой характерной точки исходного графика применяем
соответствующее координатное преобразование из таблицы. Затем соединяем
полученные точки, сохраняя непрерывность, разрывы и вид ветвей исходного
графика.таблица к задаче Демидовича № 325
Так как конкретный вид исходного графика в условии не задан, для
иллюстрации всех преобразований возьмём одну и ту же несимметричную
модельную функциюφ(x)=34sin⁡3x2+14cos⁡2x3+x12\varphi(x)=\frac34\sin\frac{3x}{2}
+\frac14\cos\frac{2x}{3}+\frac{x}{12}Пунктиром показан график y=φ(x)y=\varphi(x), синей линией — результат
преобразования. Модельная функция определена на всей числовой прямой,
поэтому её кривые продолжаются до границ каждого координатного окна.
Рисунки не накладывают на исходную функцию ff дополнительных условий:
для любого заданного графика применяются те же отображения точек.

Построение графика

В пунктах г) и д) для наглядного рисунка взяты
x0=1x_0=1 и y0=1y_0=1. В пункте ж) отдельно показаны случаи
(k,b)=(2,−2)(k,b)=(2,-2) и (k,b)=(−2,1)(k,b)=(-2,1), чтобы было видно влияние знака kk.

Пункт а)

y=−f(x)y=-f(x)график к задаче Демидовича № 325

Пункт б)

y=f(−x)y=f(-x)график к задаче Демидовича № 325

Пункт в)

y=−f(−x)y=-f(-x)график к задаче Демидовича № 325

Пункт г)

y=f(x−x0)y=f(x-x_0)график к задаче Демидовича № 325

Пункт д)

y=y0+f(x−x0)y=y_0+f(x-x_0)график к задаче Демидовича № 325

Пункт е)

y=f(2x)y=f(2x)график к задаче Демидовича № 325

Пункт ж)

k>0k>0
y=f(kx+b)y=f(kx+b)график к задаче Демидовича № 325

Пункт ж)

k<0k<0
y=f(kx+b)y=f(kx+b)график к задаче Демидовича № 325
Демидович № 325 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика